88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים

טורים חיוביים

טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על ידי נוסחאת הנסיגה [math]\displaystyle{ S_{N+1}=S_N+a_{N+1} }[/math], רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:

[math]\displaystyle{ S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0 }[/math]

על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.

משפט ההשוואה הראשון

יהיו [math]\displaystyle{ \sum a_n,\sum b_n }[/math] טורים חיוביים כך ש [math]\displaystyle{ \forall n:a_n\geq b_n }[/math]

אם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס אזי גם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר אזי גם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתבדר

מבחן דלאמבר/המנה

יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי אזי:

אם [math]\displaystyle{ \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =L \lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1 }[/math] הטור מתבדר (כולל אינסוף)

אם [math]\displaystyle{ \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} =1 }[/math] לא ניתן לדעת (הטורים [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} }[/math] מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

מבחן השורש של קושי

יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי אזי:

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =L \lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math] הטור מתבדר (כולל אינסוף)

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 }[/math] לא ניתן לדעת (הטורים [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} }[/math] מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)