תשסד,סמסטר ב, מועד ב, שאלה 11

השאלה: תהי [math]\displaystyle{ A \in M_n(C) }[/math] המטר' הבאה: [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{pmatrix} }[/math] מצא את צורת הז'ורדן שלה.

מקור: [1]

פתרון: דבר ראשון נמצא ע"ע (ואז נראה שהתרגיל ממש קל) ע"י חישוב הפולינום האופייני [math]\displaystyle{ P_A(x) = | xI-A | = \begin{vmatrix} x & 0 & ... & 0 & -1\\ -1 & x & ... & 0 & 0\\ 0 & -1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & -1 & x \end{vmatrix} }[/math] נפתח דטרמיננטה לפי העמודה הראשונה: [math]\displaystyle{ x\begin{vmatrix} x & 0 & ... & 0 & 0\\ -1 & x & ... & 0 & 0\\ 0 & -1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & -1 & x \end{vmatrix} + (-1)^{3} \cdot (-1) \begin{vmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & -1\\ -1 & x & ... & 0 & 0\\ 0 & -1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & -1 & x \end{vmatrix} }[/math]

כאשר שתי הדטרמיננטות הנ"ל הן של מטריצות מגודל [math]\displaystyle{ (n-1) \times (n-1) }[/math] ... הדטר' הראשונה היא של מטר' משולשית ושווה בדיוק [math]\displaystyle{ x^{n-1} }[/math] לדטר' השנייה נעשה פיתוח לפי השורה הראשונה:

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & -1\\ -1 & x & ... & 0 & 0\\ 0 & -1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & -1 & x \end{vmatrix} = (-1)^{(n-1)+1} \cdot (-1) \begin{vmatrix} -1 & x & ... & 0 & 0\\ 0 & -1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & -1 & x \\ 0 & 0 & ... & 0 & -1 \end{vmatrix} }[/math]

ולמזלנו קיבלנו מטר' משולשית שבאלכסונה 1-, ולכן (מכיוון שהגודל שלה הוא n-2) הדטר' שלה הוא: [math]\displaystyle{ (-1)^{n-2} }[/math] עכשיו נציב את כל מה שחישבנו בחישוב של הדטר' המקורית:

[math]\displaystyle{ | xI-A | = x \cdot x^{n-1} + (-1)^{4} \cdot (-1)^{n} \cdot (-1) \cdot (-1)^{n-2} = x^{n} + (-1)^{2n + 3} = x^{n} - 1 }[/math]

וקיבלנו שהפולינום האופייני של A הוא [math]\displaystyle{ P_A(x) = x^{n}-1 }[/math] לפולינום זה אנחנו יודעים שיש n שורשים מרוכבים(ז"א n ע"ע של A), ומכיוון ש [math]\displaystyle{ deg P_A = n }[/math] הריבוי האלגברי של כל אחד מהע"ע הללו [שורשי היחידה] הוא 1, ומכיוון שכל הגורמים הלינאריים של הפולינום האופייני מופיעים בפולינום המינימלי עם דרגה שקטנה מהדרגה בפולינום האופייני, הפולינום המינימלי של A זהה לפולינום האופייני שלה. כמו כן הריבוי הגיאומטרי של ע"ע, קטן מהריבוי האלגברי ולכן במקרה שלנו שווה ל 1.

בצורת ז'ורדן של מטר' הבלוק הגדול ביותר של ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא החזקה של [math]\displaystyle{ x-\lambda }[/math] בפולינום המינימלי, ומספר הבלוקים שבאלכסונם [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שווה לריבוי הגיאמורי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

שני הערכים הנ"ל במקרה שלנו שווים ל 1, ולכן צורת ז'ורדן של A היא מטר' בלוקים-אלכסונית עם בלוקים מגודל 1 (כל בלוק פעם אחת בלבד), ז"א שעל האלכסון שלה מופיעים כל הע"ע של A בדיוק פעם אחת. [ז"א ש A לכסינה]

אם נהיה יותר ספיציפים: יהיו [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n }[/math] שורשי היחידה מסדר n, אז צורת ז'ורדן של A היא: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & ... & 0\\ 0 & \alpha_2 & ... & 0\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & \alpha_n \end{pmatrix} }[/math] (כפי שלמדנו, סדר הבלוקים לא משנה)

הערה: החישוב שביצענו על מנת למצוא את הפולינום האופייני של A לא תקף עבור n=1,2 ולכן במקרים אלו צריך חישוב מיוחד שאכן נותן את הפולינומים [math]\displaystyle{ x-1,x^{2}-1 }[/math] בהתאמה, מה שמתאים להמשך הפתרון.