העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10

חזרה

[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2&1 & 0 & 0\\ 0& 2 & 1 &0 \\ 0 & 0& 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4} }[/math]

נמצא פ"א: [math]\displaystyle{ p_A(x)=|xI-A|=\begin{vmatrix} x-2&-1 & 0 & 0\\ 0& x-2 & -1 &0 \\ 0 & 0&x- 2 & -1\\ -1 & 0 & 0 &x- 2 \end{vmatrix}=(x-1)(x-3)(x-(2-i))(x-(2+i)) }[/math]

(פירוט על אופן החישוב בדף השיחה -- תהליך שגרתי מלינארית 1)

הע"ע הם שורשי הפ"א, כלומר הם [math]\displaystyle{ 3 }[/math],[math]\displaystyle{ 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 2-i }[/math], [math]\displaystyle{ 2+i }[/math]. הפ"א מתפרק לגורמים לינאריים, ומכיוון שהפ"מ מחלק את הפ"א והחזקה הn-ית (כאן 3) של הפ"מ מתחלקת בפ״א, מקבלים שהפ"מ זהה לפ"א. (שהרי כל הגורמים של הפ"א חייבים להופיע בפ"מ, בחזקה קטנה או שווה לחזקה המתאימה שלהם בפ"א -- וזה כבר קובע את הפ"מ במקרה שלנו.)

החזקה של כל גורם המתאים לע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] בפ"מ היא כגודל בלוק ז'ורדן הגדול ביותר המתאים ל[math]\displaystyle{ \lambda }[/math], וכאן זה שווה אחת - לכן זה מספיק כדי לקבוע חד-משמעית את צורת ז'ורדן של המטר', שהיא: [math]\displaystyle{ J=\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 &0\\ 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2-i&0 \\ 0 &0 & 0 & 2+i \end{pmatrix} }[/math]

מש"ל.