אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע
אינפי 1 לתיכוניסטים
כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.
ארכיון
תרגילים + פתרונות
שאלות
שאלה
יש לי שאלה על גבול שאני מנסה למצוא אבל משום מה יש שלב אחד שלכאורה נראה לי נכון אבל הוא לא. נתונה הפונקציה: [math]\displaystyle{ (p*sin(x)-sin(p*x))/x(cos(x)-cos(p*x)) }[/math]
כאשר X שואף ל-0
כאשר p הוא פאי, פשוט לא ידעתי איך לכתוב את זה.
פירקתי את השבר לשני שברים בצורה הבאה: כל מחובר של המונה לבדו עם המכנה (חיבור שברים עם אותו מכנה הוא שבר עם אותו מכנה כמו של השניים המקוריים כאשר מחברים את המונים שלהם, אם עדיין לא הבנת את כוונתי)
ואז בצד אחד היה לי sinx חלקי X וזה שווה 1. בצד שני היה לי sinpx חלקי X אז פשוט כפלתי וחילקתי ב-P ואז בגלל ש-X שואף ל-0, גם PX שואף לאפס מה שאומר שגם sinPX חלקי PX שואף ל-1.
ואז כביכול היה יוצא 0 כי שני השברים מצמצמים אחד את השני.
הבעיה היא במה שאמרתי על sinpx ו-PX כי בדקתי במחשבון ושם זה נתן תוצאה אחרת.
לכן רציתי לדעת איך לפתור את זה באמת.
תודה
תשובה
sinpx/px אכן שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. קל לראות את זה לפי היינה. אם x_n סדרה ששואפת לאפס אזי גם x_n/p סדרה ששואפת לאפס, פשוט תציב בפונקציה ותקבל שבזכות שsinx/x שואף לאחד, שגם הפונקציה הזו על הסדרה הנ"ל שואפת לאחד. (לא ניסחתי מדויק, אני אשאיר לך לתקן את הפערים).
מצטער אבל לא ממש הבנתי איך התשובה שלך קשורה לשאלה שלי.
במחשבון יוצא שהפונ' שואפת ל-1.047 (וממש המספר הזה, לא 1)
אני אכתוב לך את מה שעשיתי ואני מקווה שתצליח להסביר לי מה היה לא נכון: [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi sin(x)-sin(\pi x)}{x(cos(x)-cos(\pi x))} }[/math]
זה שווה ל:
[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi sin(x)}{x(cos(x)-cos(\pi x))}-\frac{sin(\pi x)}{x(cos(x)-cos(\pi x))} }[/math]
ששווה ל:
[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{cos(x)-cos(\pi x)}-\frac{\pi sin(\pi x)}{\pi x(cos(x)-cos(\pi x))} }[/math]
ששווה ל:
[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{cos(x)-cos(\pi x)}-\frac{\pi}{(cos(x)-cos(\pi x))} }[/math]
וזה אמור להיות 0 זהותית (כלומר ממש 0, לא שואף ל-0..)
תשובה
דבר ראשון, אסור בתכלית האיסור, להחליף באמצע התרגיל את חלק מהגבולות למספר אליו הם שואפים. אחרת 1 בחזקת אינסוף תמיד שווה 1 למרות שאנחנו יודעים שהוא יכול להיות e. ושוב, הייתי פותר את זה באמצעות כלל לופיטל, ולא בטוח איך אפשר אחרת.
אוקי, אז נניח שהייתי מכניס את ה-lim גם לשבר השני..
אני עדיין לא מבין למה זה לא היה עובד
(ותודה שאתה ממשיך לענות לי למרות החפירה..)
- מה הכוונה מכניס lim לשבר השני? אסור לך להחליף במספר, אתה נשאר עם אינסוף פחות אינסוף ולא מצליח לחשב. לא יהיה לך זהותית אפס. אסור לך למחוק את [math]\displaystyle{ sinx/x }[/math]
אז זה מה שאני לא מבין, למה אסור למחוק את [math]\displaystyle{ sinx/x }[/math] הרי זה אמור להיות 1 כש-X שואף ל-0
- כמו שאמרתי, לפי ההגיון הזה, גם [math]\displaystyle{ (1+1/n)^n=1 }[/math] כי [math]\displaystyle{ 1+1/n \rightarrow 1 }[/math]. במקרה זה, יש לך [math]\displaystyle{ 1\cdot \infty - \infty }[/math] אסור להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה זה. דוגמא נגדית פשוטה יותר:
[math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n}\cdot n - \frac{n-1}{n}\cdot n }[/math] בשיטה שלך זה אפס זהותית. במציאות, זה שווה בדיוק ל2.
שאלה
רציתי לבדוק אם אני צודק: דורשים למצוא נקודות אי רציפות וסיווגן בפונקציות הבאות:
1) [math]\displaystyle{ cos(x)/|cos(x)| }[/math]
2) [math]\displaystyle{ e^(-1/x^2) / 2+sin(2/x) }[/math]
בשתיהן יצא לי שאפס היא אי רציפות סליקה. זה נכון?
תשובה
בראשון אפס אינה נקודת אי רציפות בכלל... יש כמובן נקודות אי רציפות אחרות, והן תמיד ממין ראשון. שים לב שהפונקציה הזו היא פשוט אחד, מינוס אחד או לא מוגדרת.
בשני זה נכון, וזו אכן נקודת אי הרציפות היחידה.
כן, בראשון התבלבלתי.. תודה רבה!
שאלה
אפשר בבקשה עזרה בתרגיל? צריך לבדוק האם y=cos log x רבמ"ש בקטע הפתוח שבין 0 לאינסוף. אני לא ממש רואה את זה... (אין גבול בשאיפה ל0+, אז ניסיתי להראות ע"י שתי סדרות שואפות ל0 שאין רבמש, לא ממש הולך לי...)
תשובה
מה לא הולך? [math]\displaystyle{ x_n= e^{\pi - 2\pi n} }[/math] , [math]\displaystyle{ y_n=e^{-2 \pi n} }[/math]. שתי הסדרות שואפות לאפס, ולכן המרחק ביניהן שואף לאפס. אבל הפונקציה עליהן שווה לאחד, או מינוס אחד.
(זה לא כותב השאלה) אפשר פשוט לומר שהגבול באפס לא קיים, לכן הפונקציה לא רבמ"ש ב- [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] וכמובן שהיא לא רבמ"ש ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], לא?
- (זה לא ארז) אני חושב שאסור, כי אז לפי מה שאתה אומר בגלל שלא קיים לsin x גבול באינסוף אז היא לא רבמש...
- בכל מקרה, הדרך היחידה להוכיח שהגבול אינה קיים היא באמצעות הסדרות, כך שלא חסכת עבודה. באופן כללי, אפשר להוכיח שאם הגבול אינו קיים בצד הסופי, אזי הפונקציה לא רציפה שם במ"ש. זה נכון כי יש 2 אופציות: או שיש 2 סדרות ששואפות לצד הסופי (נגיד a) והפונקציה שואפת עליהן לגבולות שונים (וזה אוטומטית יוצר סתירה לרציפות במ"ש), או שיש סדרה ששואפת לאינסוף ואז הפונקציה אינה חסומה על קטע חסום, ולכן אינה רציפה במ"ש. אבל כמו שאמרתי, כך או כך זה דורש את בניית הסדרות.
- לאדע, לא עולה לי כל כך מהר הדוגמאות להפרכה. תודה בכל מקרה! יש לי עוד שאלה ממש קטנה, אני מנסה להוכיח שכשX שואף ל0, אז ln sin x / ln x שואף ל1.
- האם מותר לי להגיע לזה באמצעות המשפט של sin x / x =1 ? כי אז אני מכפיל בX, מפעיל LN על שני האגפים, מחלק בLN X ומקבל את הדרוש... תודה לעונה!
אסור. אין משפט שsinx/x=1 יש משפט שאומר שזה שואף לאחד... אבל לכפול בx זה כמו לכפול באפס וזה בוודאי אסור (אריתמטיקה של גבולות לא עוזרת פה). אפשר לפתור באמצעות כלל לופיטל, כמו שאמרתי אני לא יודע אם זה בחומר או לא.
זה לא בחומר, תודה בכל מקרה.!
שאלה
יש משהו שנורא מבלבל אותי. נניח שיש לי את הפונקציה: [math]\displaystyle{ f(x)=e^{lnx} }[/math]
מצד אחד הנגזרת שלה היא 1, כי היא שווה ל-X
מצד שני, אם אני מתעלם מהעובדה שהדבר הזה הוא X ואני גוזר רגיל אני מקבל שהגזרת היא 1 חלקי X. מה עושים???
דרך אגב, ארז כתבתי לך בחזרה משהו בשאלה של ה- [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(\pi x)}{\pi x} }[/math] אז בבקשה תענה לי.
תשובה
לומדים לגזור! [math]\displaystyle{ [e^{lnx}]' =e^{lnx} \cdot \frac{1}{x}=\frac{x}{x}=1 }[/math]
חח אופס, סליחה.
שאלה - רבמ"ש
נכון, חפרנו על הנושא למרות שתהיה מקסימום שאלה אחת על זה במבחן, ובכל זאת: נניח שאני רוצה להוכיח ש- f(x)=xsinx רבמ"ש. האם מותר לי לקחת x,y שמקיימים [math]\displaystyle{ |x-y|\lt d }[/math] ולומר : [math]\displaystyle{ |xsinx-ysiny| \le |2x-2y| \lt 2d }[/math] (מהסיבה שפונק' הסינוס חסומה ע"י 1 ו-1-) ?
תשובה
בוודאי שלא. למשל [math]\displaystyle{ x=2000\pi, y=2000\pi + \pi/2, d = \pi/2 }[/math] אז יוצא ש[math]\displaystyle{ |xsinx-ysiny|= 2000\pi + \pi/2 }[/math]
הטריק הוא בגדול לקחת [math]\displaystyle{ x_1=x,x_2=x+h }[/math] ולפתח לפי נוסחאות טריגונומטריות.
שאלה - טורים
ישבתי על זה הרבה ולא הצלחתי X:
- נתון שיש טור המוגדר ע"י סכום הסדרה an ובדומה סכום המוגדר ע"י סכום הסדרה bn
- ידוע שסיגמא AN זה A וסיגמא BN זה B
- מגדירים סדרה חדשה, CN שבמקומות האי זוגיים היא מקבלת את b1,b3,b5.... ובמקומות הזוגיים היא מקבלת את a1,a2,a3,...
- האם סיגמא CN מתכנס?
תשובה
לא של ארז: מקווה שזה נכון: סכום האי זוגיים של הסדרה b מתכנס לפי קריטריון ההשוואה, הסכום של a כמובן מתכנס לפני הנתון ולכן סכום טורים מתכנסים הוא מתכנס.
- מבחן ההשוואה נכון לטורים חיוביים בלבד. והתשובה היא בוודאי לא, אם לא נתון שהטורים חיוביים. לוקחים את הטור הקלאסי להתכנסות בתנאי [math]\displaystyle{ b_n=(-1)^n/n }[/math] ולוקחים כל טור מתכנס אחר להיות a_n...
שאלה
שאלה מהמבחן של ראובן שנה שעברה שלא הצלחתי:
תהי an סדרה מתכנסת כך ש: [math]\displaystyle{ s={an: n - belong - to - N} }[/math] כאשר N זה המספרים הטבעיים. ואומרים ש-s היא קבוצה סופית. צריך להוכיח שהחל מ-N מסויים, לכל n,m שגדולים ממנו, an=am.
זה נראה לי נכון אבל אני לא יודע איך לכתוב את זה בצורה מתמטית.
תשובה
S הינה קבוצת כל האיברים בסדרה, והיא סופית. כלומר איבר בסדרה יכול להיות אחד מתוך מספר סופי של איברים (איבר מתוך S).
כעת, נגדיר את קבוצת ההפרשים [math]\displaystyle{ D=\{|s_1-s_2| : s_1,s_2 \in S, s_1\neq s_2\} }[/math] מכיוון שS סופית גם D סופית ולכן יש לה מינימום. נגדיר [math]\displaystyle{ \epsilon = Min(D)/2\gt 0 }[/math]. כעת, לפי תנאי קושי, קיים [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n,m\gt n_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_m-a_n| \lt \epsilon }[/math] אבל אם [math]\displaystyle{ a_n \neq a_m }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |a_m-a_n| \in D }[/math] אבל
[math]\displaystyle{ |a_n-a_m|\lt \epsilon \lt Min(d) }[/math] וזו סתירה.
- סבבה תודה!
מבחן של ראובן
איפה יש את המבחן שלו משנה שעברה?
שאלה
באחת משאלות האתגר שנתתם (זאת עם הגבולות החלקיים שכוללים את כל הממשיים), מותר לי פשוט להגיד ש-an היא הספירה של Q? אנחנו יודעים שאפשר לספור את Q אבל האם זה מספיק להסתמך על זה שקיימת ספירה כזאת ואז לרשום שנק' ההצטברות של Q הן כל R ולכן אלו הם הג"חים?