שורש של מטריצה הפיכה

נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ J_{A}A }[/math] יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ערך עצמי 0 ואיברי האלכסון יהיו שונים מ 0 . מספיק להראות שלכל בלוק יש שורש כי נניח [math]\displaystyle{ J_{A}A=\bigoplus J_{m}\left(\lambda\right) }[/math] )סיגמא ישרה( רץ על כל [math]\displaystyle{ m,\lambda }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ J_{m}\left(\lambda\right) }[/math] בצורת ג'ורדן של A אז [math]\displaystyle{ sqrt{J_{A}A}=\bigoplus\sqrt{J_{m}\left(\lambda\right)\gt } }[/math] כי כל בלוק מוכפל בנפרד נראה שלבלוק גורדן לא של 0 יש שורש נבדוק את המשפט עבור מטריצה[math]\displaystyle{ 2\times2 \left(\begin{array}{cc} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{array}\right) השורש שלה הוא \left(\begin{array}{cc} \sqrt{\lambda} & \frac{1}{2\sqrt{\lambda}}\\ 0 & \sqrt{\lambda} \end{array}\right) }[/math]

נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה a_{j(j+i)} שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1

נבדוק עבור n+1

יהי B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)} נקח מטריצה A כך שהמינורים M_{11}=M_{nn}=B יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0 נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda) אם נקח עבור i,j>1 R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases} 1 & i-1+1=j-1\\ \lambda & i-1=j-1\\ 0 & \text{else} \end{cases}

בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר a_{1,n+1}^{2} הוא 0 a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{kn}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0

a_{n,1}=0 על פי סגירות לכפל של משולשיות

ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP נקבל A=\left(PBP^{-1}\right)^{2} ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש