התאמת גלואה

התאמת גלואה היא הלב של תורת גלואה ועליה מושתתות הרבה תוצאות חשובות. ההתאמה מתבטאת במשפט היסודי של תורת גלואה הקובע כי יש התאמה בין שדות ביניים של הרחבת גלואה ובין תתי החבורות של חבורת גלואה שלה.

המשפט היסודי של תורת גלואה

משפט: תהי [math]\displaystyle{ E/F }[/math] הרחבת גלואה ממימד סופי ותהי [math]\displaystyle{ G=Gal(E/F) }[/math] אזי קיימת התאמה חח"ע ועל בין:

א. תתי שדות [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq E }[/math]

ב. תתי חבורות [math]\displaystyle{ H\leq G }[/math]

ההתאמה שולחת חבורה [math]\displaystyle{ H }[/math] אל השדה [math]\displaystyle{ E^H=\{a\in E|\sigma a=a~\forall\sigma\in H\} }[/math] ותת שדה [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq E }[/math] אל החבורה [math]\displaystyle{ Gal(E/K) }[/math] (פונקציות אלו הפוכות זו לזו). בנוסף, ההתאמה מקיימת:

1. [math]\displaystyle{ |H|=[E:E^H] }[/math]

2. [math]\displaystyle{ [E^H:F]=[G:H] }[/math]

3. [math]\displaystyle{ H_1\subseteq H_2 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ E^{H_1}\supseteq E^{H_2} }[/math] (אין טעות; כוון ההכלה מתהפך)

4. [math]\displaystyle{ H }[/math] נורמלית ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ E^H/F }[/math] נורמלית אם ורק אם [math]\displaystyle{ E^H/F }[/math] גלואה. במקרה זה, [math]\displaystyle{ Gal(E^H/F)\cong G/H }[/math]. האיזומורפיזם נתון ע"י שליחת קוסט [math]\displaystyle{ \sigma H }[/math] אל [math]\displaystyle{ \sigma|_{E^H} }[/math].

הערה: קיים אנלוג של המשפט הנ"ל גם להרחבות גלואה אינסופיות.

חישוב בידיים של ההתאמה

דגכדג