88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/גזירות

חזרה לפונקציות

הגדרת הנגזרת

נגזרת, באופן אינטואיטיבי, מודדת את השיפוע של הפונקציה בנקודה. בדומה למושגים קודמים כמו גבול וסכום טור, אנו נותנים הגדרה מדוייקת ל'שיפוע' התואמת את ההגיון ובודקים אילו מן הפונקציות מקיימות הגדרה זו.

שיפוע של קו ישר מוגדר על ידי המרחק בציר y חלקי המרחק בציר x. נביט בקו [math]\displaystyle{ y(x)=mx+b }[/math], אזי השיפוע שלו הוא:

[math]\displaystyle{ \frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{mx_1+b-(mx_2+b)}{x_1-x_2}=m }[/math]

אם כך, נגדיר שיפוע של פונקציה כללית, לפי גבול שיפועים של קוים ישרים. לכל נקודה בסביבת [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נמדוד את השיפוע של הקו הישר בין שתי תמונות הפונקציה מעל הנקודה שבחרנו ומעל [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. הנגזרת, או השיפוע, ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מוגדר להיות גבול השיפועים לעיל כאשר הנקודות מתקרבות ל[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

הגדרה.

תהי f פונקציה המוגדרת בסביבה של נקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי הפונקציה גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם הגבול הבא קיים וסופי:

[math]\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math]

שימו לב, קל להוכיח שהגדרת הנגזרת שקולה ושווה לגבול הבא:

[math]\displaystyle{ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} }[/math]

הערה חשובה: התייחסו אל [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] כאל משתנה יחיד, ולא כפונקציה את x.

דוגמא.

נגזור את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x} }[/math] בנקודה כללית [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x (\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} =\frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math]

אריתמטיקה של נגזרות

[math]\displaystyle{ (cf)'=c\cdot f' }[/math]

[math]\displaystyle{ (f+g)'=f'+g' }[/math]

שימו לב: משני תנאים אלה ניתן לראות כי 'נגזרת' היא אופרטור לינארי על מרחב הפונקציות (שהוא אכן מרחב וקטורי).

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'g+g'f }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-g'f}{g^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(f(g)\Big)'=f'(g)\cdot g' }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big(f^g\Big)'=f^g\Big[g'ln(f)+\frac{gf'}{f}\Big] }[/math]

שימו לב: זו בעצם נגזרת ההרכבה [math]\displaystyle{ f^g = e^{ln\Big(f^g\Big)}=e^{gln(f)} }[/math]