89-214 סמסטר א' תשעב/תקצירים

שימו לב: כשאתם נכנסים לתקצירי ההרצאות מהשנה שעברה, גם דף השיחה הוא מהשנה שעברה. את השאלות מתשע"ב כתבו בדף השיחה של הדף הזה.

• תקצירי ההרצאות מהשנה שעברה.

הרצאה ראשונה

מבוא לתורת המספרים

הנחת המוצא היא שאתם מכירים את התכונות היסודיות של המספרים השלמים (תכונות של החיבור והכפל, של הקבועים 0 ו-1, ושל יחס הסדר). תרגיל: איך אפשר להגדיר את הקבועים ואת יחס הסדר, אם נתונים רק החיבור והכפל? (פתרון: [math]\displaystyle{ \ x\lt y \leftrightarrow \exist z_1,z_2,z_3,z_4: y=x+z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2 }[/math]).

הגדרנו את יחס החלוקה (שהוא יחס סדר חלש על אוסף הזוגות [math]\displaystyle{ \ \pm n }[/math]), ואת המחלק המשותף המקסימלי (המחלק המשותף שהוא הגדול ביותר מכל המחלקים המשותפים, לפי היחס הרגיל), ואז הוכחנו שרשרת של טענות:

1. אפשר לבצע חילוק עם שארית ("אוקלידיות");

2. המחלק המשותף המקסימלי של a ו- b הוא צירוף שלם שלהם.

3. אם [math]\displaystyle{ \ a|bc }[/math] ו- a זר ל-b, אז [math]\displaystyle{ \ a|c }[/math].

הגדרנו מספר אי-פריק (לא ניתן לפרק באופן לא-טריוויאלי) ומספר ראשוני (אם הוא מחלק מכפלה אז הוא מחלק את אחד הגורמים), והבחנו שכל ראשוני הוא אי-פריק (זה קל). כעת אפשר להוכיח

4. כל שלם אי-פריק הוא ראשוני (כלומר, במספרים השלמים, "ראשוני" ו"אי-פריק" הם בעצם אותו מושג), ואז

5. המשפט היסודי של האריתמטיקה: לכל מספר שלם יש פירוק יחיד לגורמים אי-פריקים.

השרשרת הזו תופיע באופן כללי בהרבה בפרק השלישי של הקורס, כאשר נעסוק בתחומי שלמות (שהם סוג מיוחד של חוגים קומוטטיביים (שהם סוג מיוחד של חוגים)).

תרגיל. בכתה הגדרנו מחלק משותף מקסימלי לגבי יחס הסדר הרגיל, ואמרנו שלו היינו מגדירים לפי יחס החלוקה היינו מקבלים אותו הדבר. הוכיחו טענה זו. כלומר, הראו שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק את המחלק המשותף המקסימלי.

הרצאה שניה

לסיום הפרק הראשון הגדרנו את יחס השקילות [math]\displaystyle{ \ a \equiv b \pmod{n} }[/math] (אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ n|(a-b) }[/math]). מחלקות השקילות שלו הן [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n = \{[0],[1],\dots,[n-1]\} }[/math]. מתברר שפעולות החיבור והכפל לפי רכיבים מגדירות פעולות בין המחלקות. משפט השאריות הסיני קובע שאם n,m זרים, אז הפונקציה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{nm} \rightarrow \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m }[/math] המוגדרת על-ידי [math]\displaystyle{ \ [x]_{nm} \mapsto ([x]_n,[x]_m) }[/math] (תרגיל: הוכח שהיא מוגדרת היטב; מה יש לבדוק?) היא חד-חד-ערכית ועל.

מערכת מתמטית כוללת קבוצה, פעולות, יחסים וקבועים (או חלק מהם). המשך הקורס יעסוק בכמה מערכות מתמטיות חשובות: חבורות, חוגים ושדות. לפני שנעסוק בחבורות באופן ישיר, נפגוש שני מבנים אלגבריים פשוטים יותר: חבורות למחצה ומונוידים.

חבורה למחצה היא קבוצה עם פעולה בינארית אסוציאטיבית. דוגמא כללית: אוסף כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה. (במובן מסויים, כל חבורה למחצה היא אוסף של פונקציות מקבוצה מתאימה לעצמה [בעתיד נוכיח תוצאה דומה על חבורות]). שימו לב שכדי שקבוצה חלקית של אוסף כל הפונקציות מ-X ל-X תהיה חבורה למחצה, די בכך שהיא תהיה סגורה להרכבה (משום שהאסוציאטיביות היא אוטומטית).

איבר של חבורה למחצה המקיים את התנאי [math]\displaystyle{ \ ex=xe=x }[/math] לכל x הוא "איבר יחידה". לא תמיד יש כזה, אבל אם הוא קיים - הוא יחיד. חבורה למחצה שבה יש איבר יחידה, נקראת מונויד (או "יחידון").

הרצאה שלישית

איבר y של מונויד M הוא "הפכי של x" אם xy=yx=1. אם יש ל-x הפכי, אז הוא יחיד --- ולאיבר הזה קוראים "ההפכי של x". איבר שיש לו הפכי הוא "איבר הפיך". לדוגמא, איבר היחידה הוא הפיך --- אבל יש מונוידים שבהם אין אף איבר הפיך אחר. מונויד שכל האיברים שלו הפיכים נקרא חבורה. מתברר שבכל מונויד M, אוסף האיברים ההפיכים [math]\displaystyle{ \ U(M) }[/math] הוא חבורה.

המונויד מקיים את תכונת הצמצום משמאל אם מ-xy=xz תמיד נובע y=z. לדוגמא, המונויד של המספרים עד n עם פעולת המקסימום אינו מקיים את התכונה הזו. מונויד המוכל בחבורה מקיים את תכונת הצמצום (אבל יש דוגמאות - קשות יחסית - למונוידים המקיימים את תכונת הצמצום ואינם מוכלים באף חבורה).

משפט. מונויד סופי בעל תכונת הצמצום משמאל הוא חבורה.

דוגמאות לחבורות.

1. [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n }[/math] ביחס לפעולת החיבור.
2. אוסף האברים ההפיכים ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n }[/math] ביחס לפעולת הכפל. לחבורה הזו קוראים חבורת אוילר מסדר n, ויש בה [math]\displaystyle{ \ \varphi(n) }[/math] אברים.
3. החבורה הסימטרית [math]\displaystyle{ \ S_n }[/math] היא חבורת התמורות על n עצמים. אפשר לכתוב כל תמורה כמכפלה של מחזורים זרים, באופן יחיד.
4. לכל שדה F, המטריצות ההפיכות מסדר n מעל F מהוות חבורה, [math]\displaystyle{ \ \operatorname{GL}_n(F) }[/math].

אפשר להגדיר מכפלה ישרה חיצונית, שהיא המכפלה הקרטזית של שתי חבורות נתונות עם הפעולה לפי רכיבים, כדרך לבנות חבורה חדשה מחבורות נתונות.

הרצאה רביעית

תת-קבוצה לא-ריקה H של חבורה G היא תת-חבורה אם H מהווה חבורה בזכות עצמה ביחס לפעולות המצומצמות מ-G. זה שקול לכך שהיא סגורה לכפל וללקיחת הפכי (בחבורה סופית, די בכך שהקבוצה סגורה לכפל). תת-החבורות הטריוויאליות הן G עצמה, והקבוצה הכוללת רק את איבר היחידה.

אם H תת-חבורה של G, קבוצה מהצורה [math]\displaystyle{ \ Ha = \{xa: x\in H\} }[/math] נקראת קוסט שמאלי של H. הקוסטים השמאליים זרים זה לזה, והם מכסים את החבורה. מכיוון שלכולם אותו גודל (השווה לסדר של H), מתקבל משפט לגרנז': הסדר של חבורה (סופית) מתחלק בסדר של כל תת-חבורה.

מסקנות מעניינות: משפט פרמה ומשפט אוילר.

תרגיל. הוכיחו שלתת-חבורה נתונה H, יש אותו מספר קוסטים ימניים ושמאליים (משפט לגרנז' פותר בקלות את המקרה שבו G סופית, אבל הטענה נכונה באופן כללי; כן, גם לתת-חבורה אינסופית של חבורה אינסופית יכולים להיות מספר סופי של קוסטים - תנו דוגמא לתופעה כזו).

חיתוך של אוסף כלשהו של תת-חבורות הוא תת-חבורה, וכך אפשר להגדיר את החבורה הנוצרת על-ידי קבוצה S, כתת-החבורה הקטנה ביותר המכילה את S. אבריה של תת-החבורה הזו הם המכפלות של אברי S וההפכיים שלהם.

הסדר של איבר [math]\displaystyle{ \ g \in G }[/math] הוא n>0 הקטן ביותר שעבורו [math]\displaystyle{ \ g^n=1_G }[/math] (אם יש כזה; אחרת הסדר הוא אינסוף). כל איבר g יוצר תת-חבורה [math]\displaystyle{ \ \langle g \rangle }[/math], הכוללת בדיוק את החזקות של g; סדר החבורה הזו שווה לסדר האיבר. חבורות כאלה, הנוצרות על-ידי איבר אחד, נקראות חבורות ציקליות.

לדוגמא, החבורה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n }[/math] ציקלית, משום שהיא נוצרת על-ידי המחלקה [math]\displaystyle{ \ [1] }[/math]. הסדר של a בחבורה הזו הוא [math]\displaystyle{ \ n/(a,n) }[/math], ולכן יש בדיוק [math]\displaystyle{ \ \phi(n/e) }[/math] אברים מכל סדר n/e. בפרט, יש לחבורה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n }[/math] בדיוק [math]\displaystyle{ \ \phi(n) }[/math] יוצרים.

הרצאה חמישית

כל תת-חבורה של [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n }[/math] נוצרת על-ידי איבר המחלק את n; אם a|n, אז הסדר של החבורה הנוצרת על-ידי a הוא n/a, ולכן, אם H תת-חבורה של [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_n }[/math] מסדר d, היא שווה לחבורה הציקלית <n/d>. כלומר, לחבורות ציקליות יש תת-חבורה יחידה מכל סדר שמשפט לגרנז' מתיר.

מגדירים את המכפלה של תת-חבורות כקבוצה של כל המכפלות האפשריות: [math]\displaystyle{ \ AB=\{ab | a\in A, b\in B\}$ }[/math]. באופן דומה אפשר להגדיר, לכל קבוצה בחבורה, [math]\displaystyle{ \ S^{-1}=\{s^{-1} | s\in S\} }[/math]. הוכחנו שאם A,B תת-חבורות, אז המכפלה AB תת-חבורה אם ורק אם AB=BA.

הגדרנו הומומורפיזם (העתקה מחבורה G לחבורה H, השומרת על הכפל (ולכן גם על איבר היחידה ועל פעולת ההיפוך)). התמונה של הומומורפיזם היא תת-חבורה של H, והגרעין הוא תת-חבורה של G. הומומורפיזם הוא חד-חד-ערכי אם ורק אם הגרעין שלו טריוויאלי. ראינו שכל תת-חבורה יכולה להיות תמונה של הומומורפיזם כלשהו. מאידך, לא כל תת-חבורה יכולה להיות גרעין של הומומורפיזם: לתת-חבורות כאלה נקרא בשעור הבא "תת-חבורות נורמליות", ובינתיים אנו מגדירים אותן על-פי התכונה [math]\displaystyle{ \ aH=Ha }[/math] לכל a, ותכונות השקולות לה.

תת-חבורה H של G המקיימת את התנאי [math]\displaystyle{ \ aHa^{-1} \subset H }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \ a\in G }[/math], (או כל אחד מהתנאים השקולים לכך) נקראת תת-חבורה נורמלית.

הרצאה ששית

אם [math]\displaystyle{ \ N\leq G }[/math] תת-חבורה נורמלית, מסמנים [math]\displaystyle{ \ N \triangleleft G }[/math]. הוכחנו שתת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם המכפלה של קוסטים היא קוסט. את אוסף הקוסטים אפשר להפוך לחבורה, הקרויה חבורת המנה, [math]\displaystyle{ \ G/N }[/math]. כמובן, [math]\displaystyle{ \ |G/N| = [G:N] }[/math]. קיומה של חבורת המנה מאפשר להוכיח קריטריון נוסף: תת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם היא גרעין להומומורפיזם כלשהו (ההעתקה [math]\displaystyle{ \ \theta : G \rightarrow G/N }[/math] לפי [math]\displaystyle{ \ \theta(x) = xN }[/math] היא הומומורפיזם, ו- [math]\displaystyle{ \ \operatorname{Ker}(\theta) = N }[/math]). כלומר: תת-חבורות נורמליות של G = גרעינים של הומומורפיזמים מ-G.

הוכחנו את משפט האיזומורפיזם הראשון: לכל הומומורפיזם [math]\displaystyle{ \ \phi : G \rightarrow H }[/math], [math]\displaystyle{ \ G/\operatorname{Ker}(\phi) \cong \operatorname{Im}(\phi) }[/math]. מעכשיו, אם נרצה להוכיח ש- [math]\displaystyle{ \ G/K \cong H }[/math], מספיק יהיה לבנות אפימורפיזם (=הומומורפיזם על( [math]\displaystyle{ \ G \rightarrow H }[/math] שהגרעין שלו הוא K.

ראינו שנורמליות מחלחלת כלפי מטה: אם [math]\displaystyle{ \ K \triangleleft G }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \ H \leq G }[/math], אז [math]\displaystyle{ \ K \cap H \triangleleft H }[/math]. בפרט (אם מניחים [math]\displaystyle{ \ K \sub H }[/math]) נורמליות עוברת בתורשה לתת-חבורה. מאידך, נורמליות אינה טרנזיטיבית: יתכן ש- [math]\displaystyle{ N \triangleleft H \triangleleft G }[/math] ובכל זאת [math]\displaystyle{ \ N \not \triangleleft G }[/math].

אם [math]\displaystyle{ \ N \triangleleft G }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \ H \leq G }[/math] אז [math]\displaystyle{ \ NH }[/math] תמיד תת-חבורה; יתרה מזו, המכפלה של תת-חבורות נורמליות היא נורמלית.

הוכחנו, בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון, את משפט האיזומורפיזם השני (אם [math]\displaystyle{ \ N,H\leq G }[/math] ו-N נורמלית אז [math]\displaystyle{ \ H/(N\cap H)\cong HN/N }[/math]).

הרצאה שביעית

הוכחנו, שוב בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון, את משפט האיזומורפיזם השלישי (אם [math]\displaystyle{ \ K \leq N \leq G }[/math] ושתיהן נורמליות ב-G, אז [math]\displaystyle{ \ (G/K)/(N/K) \cong G/N }[/math]).

הסברנו את ההתאמה בין אוסף תת-החבורות של G המכילות תת-חבורה נורמלית K, לבין אוסף תת-החבורות של חבורת המנה G/K. ההתאמה הזו שומרת (בשני הכיוונים) על הכלה, ולכן היא חד-חד-ערכית ושומרת על חיתוך ומכפלה. היא שומרת גם על נורמליות ועל מנות ואינדקסים. תרגיל. נסח את הטענות האלה במפורש, והוכח אחת או שתיים מהן.

הגדרנו כמה מושגים הקשורים באברים מתחלפים: המרכז (מם צרויה) של חבורה G הוא אוסף האברים [math]\displaystyle{ \ Z(G) }[/math] המתחלפים עם כל אברי החבורה. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית. הראינו שהמרכז של החבורה הסימטרית הוא טריוויאלי.

המרכז (ריש פתוחה) של איבר g הוא אוסף האברים המתחלפים איתו, והמרכז (כנ"ל) של תת-חבורה הוא אוסף האברים המתחלפים עם כל איבר בחבורה. תרגיל: כתוב, כפסוק על אברים בלבד, את שלוש הטענות הבאות: [math]\displaystyle{ \ A \subseteq C_G(B) }[/math]; [math]\displaystyle{ \ AB = BA }[/math]; [math]\displaystyle{ \ A \triangleleft AB }[/math].

אברים x,g מתחלפים אם ורק אם הצמדת g על-ידי x אינה משנה את האיבר. ברוח זו, הגדרנו את יחס הצמידות על החבורה: שני אברים הם צמודים אם אפשר להגיע מאחד לשני על-ידי הצמדה, כלומר, הצמודים של x הם האברים מהצורה [math]\displaystyle{ \ g x g^{-1} }[/math]. הוכחנו שמספר האברים במחלקת הצמידות של a שווה לאינדקס [math]\displaystyle{ \ [G:C_G(a)] }[/math] של המרכז של האיבר בחבורה (ומכאן שמספר האברים הזה מחלק את סדר החבורה).

הפירוק של חבורה לאיחוד של מחלקות צמידות קובע את שוויון המחלקות [math]\displaystyle{ \ |G|=|Z(G)|+\sum [G:C_G(x)] }[/math], שבו הסכום באגף ימין הוא על נציג אחד מכל מחלקה של אברים לא מרכזיים (המחלקה של איבר מרכזי כוללת אותו בלבד).

משוויון המחלקות מסיקים של"חבורת-p" (חבורה מסדר [math]\displaystyle{ \ p^n }[/math]) יש מרכז לא טריוויאלי. הראינו שאם G חבורה לא אבלית, אז המנה [math]\displaystyle{ \ G/Z(G) }[/math] אינה יכולה להיות ציקלית. בעזרת שתי התוצאות האחרונות אפשר למיין את כל החבורות מסדר [math]\displaystyle{ \ p^2 }[/math] (כולן אבליות, ובהמשך נראה שיש רק שתיים כאלה - [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{p^2} }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p^2 }[/math]), ואת כל החבורות הלא-אבליות מסדר [math]\displaystyle{ \ p^3 }[/math] (יש שתיים).

הרצאה שמינית

אם H תת-חבורה נתונה, נסמן ב- [math]\displaystyle{ \ N_G(H) = \{g\in G: gHg^{-1} =H\} }[/math] את המנרמל של H. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבתוכה H נורמלית. הראינו שהאינדקס של המנרמל שווה למספר תת-החבורות של G הצמודות ל-H.

חבורת האוטומורפיזמים של חבורה G כוללת, לפי ההגדרה, את כל האוטומורפיזמים של החבורה (אלו הם הומומורפיזמים חד-חד-ערכיים ועל, מן החבורה אל עצמה). הצמדה באיבר של G מגדירה אוטומורפיזם, והפונקציה המתאימה לכל איבר את ההצמדה בו-עצמו היא הומומורפיזם, שהגרעין שלו הוא מרכז החבורה. התמונה נקראת "חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים", והיא תת-חבורה נורמלית של חבורת האוטומורפיזמים.

לאחר שהוברר שהצמדה מסוגלת להגדיר אוטומורפיזמים על החבורה, אפשר להשתמש בשיטה הזו גם כדי להגדיר אוטומורפיזמים של תת-חבורות. אם H תת-חבורה נתונה, נסמן ב- [math]\displaystyle{ \ N_G(H) = \{g\in G: gHg^{-1} =H\} }[/math] את המנרמל של H. זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבתוכה H נורמלית. שיטת ההצמדה מגדירה הומומורפיזם של המנרמל לתוך חבורת האוטומורפיזמים של H, שהגרעין שלו הוא המרכז [math]\displaystyle{ \ C_G(H) }[/math]. כך מתקבל "משפט N/C": המנה [math]\displaystyle{ \ N_G(H)/C_G(H) }[/math] איזומורפית לתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של H.

הרצאה תשיעית

הוכחנו את משפט קיילי, הקובע שכל חבורה סופית איזומורפית לתת-חבורה של חבורת תמורות. תרגיל. הציגו את [math]\displaystyle{ \ S_3 }[/math] בתור תת-חבורה של [math]\displaystyle{ \ S_6 }[/math]. תרגיל. מיצאו את המספר n הקטן ביותר כך שאפשר לשכן את החבורה הציקלית מסדר 20 ב-[math]\displaystyle{ \ S_n }[/math]. כנ"ל עבור 21 ועבור 25.

הראינו שמחלקות הצמידות בחבורה הסימטרית ממויינות לפי מבנה המחזורים של התמורות.

הרצאה עשירית

הגדרנו את הסימן של תמורה [math]\displaystyle{ \ \sigma }[/math] בתור הזוגיות של מספר 'הפרות הסדר', שהן זוגות [math]\displaystyle{ \ i\lt j }[/math] עם [math]\displaystyle{ \ \sigma(i)\gt \sigma(j) }[/math]. הפונקציה הזו היא הומומורפיזם [math]\displaystyle{ \ S_n \rightarrow \{\pm 1\} }[/math]. כל תמורה אפשר להציג כמכפלה של חילופים (לאו דווקא זרים, כמובן). מכיוון שלכל חילוף יש סימן אי-זוגי, הסימן קובע את הזוגיות של מספר החילופים בכל הצגה כזו.

הגרעין של העתקת הסימן, היינו אוסף כל התמורות הזוגיות, הוא תת-חבורה נורמלית מאינדקס 2 של [math]\displaystyle{ \,S_n }[/math], שאותה מסמנים ב-[math]\displaystyle{ \,A_n }[/math]. כפי ש-[math]\displaystyle{ \,S_n }[/math] נוצרת על-ידי כל החילופים, [math]\displaystyle{ \,A_n }[/math] נוצרת על-ידי כל המחזורים מאורך 3. אם [math]\displaystyle{ \ n\geq 5 }[/math] אז החבורה [math]\displaystyle{ \ A_n }[/math] פשוטה, כלומר, אין לה תת-חבורות נורמליות לא טריוויאליות.

הרצאה אחת-עשרה

הוכחנו את משפט קושי: בכל חבורה (סופית) שהסדר שלה מתחלק ב-p, יש איברים מסדר p (הוכחנו את התוצאה בכמה שלבים: בחבורות ציקליות זהו תרגיל קל; בחבורות אבליות כלליות עוברים לחבורת מנה ביחס לתת-חבורה ציקלית ומסיימים באינדוקציה; בחבורות כלליות מפעילים את שוויון המחלקות).

הגדרנו קומוטטורים ואת תת-חבורת הקומוטטורים 'G. הראינו שחבורת המנה האבלית הגדולה ביותר של G היא [math]\displaystyle{ \ G/G' }[/math].

הגדרנו מכפלה ישרה פנימית, והוכחנו שהיא איזומורפית למכפלה ישרה חיצונית.

מכאן עברנו לנתח חבורות אבליות. הגדרנו את האקספוננט של חבורה אבלית A, שהוא המספר e הקטן ביותר המקיים [math]\displaystyle{ \ x^e = 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \ x\in A }[/math]. האקספוננט שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל הסדרים של אברים של A. לפי משפט קושי, הראשוניים המחלקים את סדר החבורה הם אותם ראשוניים המחלקים את האקספוננט שלה. בכל חבורה אבלית יש איבר מסדר השווה לאקספוננט שלה (בהמשך נשתמש במשפט רק עבור חבורות-p אבליות).

מכיוון שהחבורה A אבלית, פעולת ההעלאה בחזקת n היא הומומורפיזם, ואפשר להגדיר את הגרעין [math]\displaystyle{ \ A_n = \{x: x^n=1\} }[/math] והתמונה [math]\displaystyle{ \ A^n = \{x^n\} }[/math]. הראינו שחבורה אבלית מסדר nm, כאשר n,m זרים, היא מכפלה ישרה של תת-החבורות [math]\displaystyle{ \ A^n \times A^m }[/math], שהסדרים שלהן m ו-n בהתאמה. באינדוקציה, נובע מכאן שכל חבורה אבלית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות מסדר חזקת ראשוני.

הרצאה שתים-עשרה

המשפט המרכזי על חבורות-p אבליות קובע שאם H תת-חבורה ציקלית של A שסדרה שווה לאקספוננט של A (ותמיד קיימת כזו), אז A מתפרקת למכפלה ישרה של H ותת-חבורה נוספת. מכאן נובע, באינדוקציה, שכל חבורת-p אבלית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות. בשילוב עם התוצאה הקודמת, קיבלנו שכל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות.

התאוריה של חבורות אבליות סופיות מסוכמת במשפט הבא: כל חבורה אבלית סופית אפשר להציג באופן יחיד בצורה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_{d_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{d_t} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \ d_1|\cdots | d_t }[/math]. את הקיום מוכיחים על-ידי קיבוץ מרכיבי-p הגדולים ביותר לכדי המרכיב האחרון, הגדולים ביותר מאלו שנותרו מרכיבים את המרכיב השני בגודלו, וכן הלאה. את היחידות אפשר להוכיח על-ידי שמראים שאפשר לחשב את [math]\displaystyle{ \ d_1 }[/math] מתוך החבורה. אכן, מספר הגורמים t הוא הערך המקסימלי שהפונקציה [math]\displaystyle{ \ \log_p|A/pA| }[/math] מקבלת; ובנוסף לזה, [math]\displaystyle{ \ |p^{\ell-1}A/p^\ell A| = p^t }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ p^\ell | d_1 }[/math]. מובן שמחזקות הראשוניים המחלקות את המספר אפשר לשחזר אותו באופן מלא. (בכתה הראינו שיטה אחרת - ראו תרגיל 10.6.5 בחוברת).

שדות סופיים - גרסה נטולת חוגים

מכיוון שהקדשנו זמן להעמקה בתורת החבורות, נותר מעט מאד זמן לטיפול בשדות סופיים. כדי לכסות נושא זה היטב יש להקדים כמה מושגים בתורת החוגים, ולכך לא נשאר זמן. אציג להלן את התוצאות המרכזיות שברצוני לכלול בקורס, בלי צורך בשדות.

1. שדות. מערכת אלגברית שיש בה שתי פעולות ("חיבור" ו"כפל") היא שדה, אם היא חבורה אבלית ביחס לראשונה, חבורה אבלית כאשר זורקים את איבר האפס ביחס לשניה, ומתקיימת בה דיסטריבוטיביות: [math]\displaystyle{ \ a(b+c)=ab+ac }[/math]. החבורה הראשונה נקראת "החבורה החיבורית של השדה", והשניה "החבורה הכפלית של השדה".

דוגמאות: המספרים הממשיים, המספרים המרוכבים, המספרים הרציונליים; וכן [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p }[/math] כאשר p ראשוני.

העתקה חד-חד-ערכית ועל בין שדות השומרת על החיבור והכפל נקראת איזומורפיזם.

2. תת-שדות. תת-קבוצה (לא ריקה) של שדה, שהיא שדה ביחס לפעולות המושרות, נקראת תת-שדה. תכונה זו שקולה לכך שתת-הקבוצה סגורה ביחס לחיבור וכפל, ויש בה נגדי לכל איבר והפכי לכל איבר שונה מאפס. כזכור, הוכחנו שכל מונויד סופי עם צמצום הוא חבורה. מכך אפשר להסיק שעל-מנת שתת-קבוצה *סופית* של שדה תהיה תת-שדה, די שתהיה סגורה לחיבור ולכפל.

הערה. אם K שדה ו-F תת-שדה שלו, אז K הוא מרחב וקטורי מעל F.

3. לכל שדה יש מאפיין, שהוא הסדר של 1 (איבר היחידה של החבורה הכפלית) בחבורה החיבורית, כלומר, המספר הקטן ביותר של פעמים שיש לחבר את 1 לעצמו עד שמגיעים ל-0. אם אין מספר כזה (כלומר, 1 הוא מסדר אינסופי), אומרים שהמאפיין הוא אפס (ולא "אינסוף", מסיבות שלא נעמוד עליהן כאן).

טענה. המאפיין של שדה הוא או אפס, או מספר ראשוני.

טענה. יהי F שדה ממאפיין ראשוני p. אז תת-החבורה החיבורית הנוצרת על-ידי 1 (הכוללת כמובן את [math]\displaystyle{ \ 0,1,\dots,p-1 }[/math]) היא תת-שדה, שהוא איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p }[/math].

4. סדרים אפשריים. יהי F שדה סופי. אז המאפיין שלו סופי, ולכן ראשוני, שנסמן ב-p. לכן יש ל-F תת-שדה האיזומורפי ל-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p }[/math]. לכן F הוא מרחב-וקטורי מעל שדה זה. אבל המימד שלו סופי. לכן הוא איזומורפי (כמרחב וקטורי!) למרחב ה-n-יות [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p^n }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \ |F|= p^n }[/math].

סיכום. הסדר של שדה סופי הוא חזקת ראשוני.

המשפט העיקרי שנוכיח בהמשך הוא שלכל חזקת ראשוני q, קיים שדה מסדר q. למען האמת השדה הזה הוא יחיד (ונקרא "שדה גלואה מסדר q"), אבל לא נוכל להוכיח זאת כאן.

5. חוג הפולינומים (בלי להגדיר "חוג"). אם F שדה, אוסף הפולינומים במשתנה אחד מעליו, עם פעולות החיבור והכפל הטבעיות של פולינומים, נקרא חוג הפולינומים מעל F, ומסמנים אותו בסימון [math]\displaystyle{ \ F[x] }[/math] (או [math]\displaystyle{ \ F[y] }[/math]; שם המשתנה אינו חשוב). כל איבר של [math]\displaystyle{ \ F[x] }[/math] נקרא "פולינום מעל F". אם [math]\displaystyle{ \ F \subset K }[/math] תת-שדה, אז יש הכלה טבעית [math]\displaystyle{ \ F[x] \subset K[x] }[/math], ולכן כל פולינום מעל F הוא באופן אוטומטי גם פולינום מעל K.

6. המעלה. המעלה היא פונקציה [math]\displaystyle{ \ F[x]\rightarrow \mathbb{N}\cup \{-\infty\} }[/math], המוגדרת לפי החזקה העליונה הנוכחת בפולינום. פולינום ממעלה אפס נקרא סקלר. פונקציית המעלה מקיימת: [math]\displaystyle{ \ \deg(fg) = \deg(f)\deg(g) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \ \deg(f+g) \leq \max\{\deg(f),\deg(g)\} }[/math].

7. חילוק עם שארית. לכל פולינום [math]\displaystyle{ \ g \neq 0 }[/math]: לכל פולינום f אפשר לכתוב [math]\displaystyle{ \ f = q g + r }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \ q,r }[/math] פולינומים המקיימים [math]\displaystyle{ \ \deg(r) \lt \deg(g) }[/math].

טענה. r כנ"ל הוא יחיד, ולכן אפשר להגדיר את השארית של f מודולו g להיות r.

8. תרגיל. יהי [math]\displaystyle{ \ f(x) = a_0+\cdots+a_nx^n }[/math] פולינום מעל שדה F, ויהי [math]\displaystyle{ \ t \in F }[/math] איבר של השדה. אז השארית של f מודולו [math]\displaystyle{ \ x-t }[/math] היא הסקלר [math]\displaystyle{ \ f(t) = a_0+\cdots+a_nt^n }[/math].

שורשים. איבר [math]\displaystyle{ \ t\in F }[/math] הוא שורש של f, אם [math]\displaystyle{ \ f(t) = 0 }[/math]. הוכחנו, אם כך, ש-[math]\displaystyle{ \ t }[/math] שורש של f אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ x-t }[/math] מחלק את f.

9. משפט. לכל שני פולינומים [math]\displaystyle{ \ f,g }[/math] יש פולינומים [math]\displaystyle{ \ a,b }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \ d= af+bg }[/math] מחלק את f ואת g. ברור שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את d, ולכן הוא מחלק משותף מקסימלי. הוכחנו, אם כך, עבור פולינומים, את התכונה שהוכחנו למספרים בשעור הראשון: המחלק המשותף המקסימלי של f,g הוא צירוף שלהם.

10. פולינום h נקרא אי-פריק אם בכל פירוק שלו אחד הגורמים הוא סקלר. חשוב להבין שתכונה זו תלויה בשדה. למשל, הפולינום [math]\displaystyle{ \ x^2+1 }[/math] הוא אי-פריק מעל הממשיים, אבל פריק מעל המרוכבים. פולינום אי-פריק h מתנהג כמו מספר שלם ראשוני, במובן הבא: אם h אינו מחלק את הפולינום f, אז המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, ולכן יש צירוף שלם af+bh=1.

משפט. לכל פולינום יש פירוק לגורמים ראשוניים. הוכחה. באינדוקציה על המעלה.

(פירוק זה הוא יחיד, אבל לא נזדקק לעובדה זו כאן).

11. פעולות מודולו פולינום. יהי F שדה, ויהי h פולינום אי-פריק מעליו (כלומר, בחוג הפולינומים [math]\displaystyle{ \ F[x] }[/math]). נתבונן באוסף הפולינומים [math]\displaystyle{ \ \{f \in F[x] : \deg(f) \lt \deg(h)\} }[/math], עם פעולות החיבור והכפל מודולו h (כלומר, בביצוע כל פעולה מחליפים את התוצאה בשארית שלה מודולו h). מסמנים אותו, מסיבות שאפשר לנחש אך לא נכנס אליהן כאן, בסימון [math]\displaystyle{ \ F[x]/\langle h\rangle }[/math].

משפט. [math]\displaystyle{ \ F[x]/\langle h\rangle }[/math] הוא שדה. (התכונה היחידה שאינה טריוויאלית היא קיומו של הפכי, אבל את זה הוכחנו בסעיף הקודם).

הערה. [math]\displaystyle{ \ F[x]/\langle h\rangle }[/math] מכיל עותק של F, כתת-שדה. לכן (אבל גם ישירות) הוא מרחב וקטורי מעל F, וממדו שווה למעלה של h.

12. משפט. יהי f פולינום מעל שדה F. אז יש שדה הרחבה K (כלומר, שדה K המכיל את F כתת-שדה), שבו יש ל-f שורש. הוכחה. נבחר גורם אי-פריק h של f (סעיף 10). נבחר [math]\displaystyle{ \ K = F[x]/\langle h \rangle }[/math]. בשדה הזה, האיבר x (מודול h) הוא שורש של h (!), ולכן גם שורש של f.

13. שדה K מפצל את הפולינום f, אם אפשר לכתוב אותו כמכפלה של גורמים ליניאריים מעל K, [math]\displaystyle{ \ f(x) = (x-t_1)\cdots(x-t_n) }[/math]. (במקרה כזה אומרים גם ש-f מתפצל ב-K). כמובן, כל [math]\displaystyle{ \ t_i }[/math] הוא שורש של f, ואלו הם כל השורשים של f בשדה הזה. לכן מספר השורשים של פולינום, בשדה המפצל אותו, אינו עולה על המעלה שלו.

משפט. לכל פולינום f מעל שדה F יש שדה מפצל. הוכחה. באינדוקציה על המעלה. אם f ממעלה 1 אין מה להוכיח. אם f פריק סיימנו. אחרת יש ל-f שורש בשדה [math]\displaystyle{ \ F_1 = F[x]/\langle f /rangle }[/math], ושם (כאיבר [math]\displaystyle{ \ f(y)\in F_1[y] }[/math]) הוא מתפרק לשני גורמים: [math]\displaystyle{ \ f(y) = (y-x)f_1(y) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \ \deg(f_1)\lt \deg(f) }[/math]. לפי הנחת האינדוקציה יש הרחבה של [math]\displaystyle{ \ F_1 }[/math] שמפצלת את [math]\displaystyle{ \ f_1 }[/math], והיא מפצלת גם את f.

14. (אוטומורפיזם פרובניוס). יהי F שדה עם מאפיין p. אז [math]\displaystyle{ \ (a+b)^p = a^p+b^p }[/math] (לפי הפיתוח הבינומי: p מחלק כל מקדם בינומי למעט הראשון והאחרון), ולכן תכונה זו מתקיימת אם מחליפים את p בחזקה של p.

15. הנגזרת הפורמלית. לכל פולינום, מעל כל שדה, אפשר להגדיר נגזרת לפי [math]\displaystyle{ \ (a_0+\cdots+a_nx^n) = a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1} }[/math]. "חוק לייבניץ" [math]\displaystyle{ \ (fg)' = fg'+f'g }[/math] תקף ללא מגבלות.

16. ספרביליות. יהי f פולינום המתפצל בשדה f. אם יש לו פחות מ-n שורשים, אז בפירוק שלו לגורמים לינאריים מופיע גורם כלשהו פעמיים, ואז הגורם הזה מחלק את [math]\displaystyle{ \ f' }[/math].

17. יהי q חזקה של ראשוני p. נתבונן בפולינום [math]\displaystyle{ \ x^q-x }[/math] מעל השדה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p }[/math]. לפי סעיף 13 יש לו שדה מפצל, K. נאסוף את השורשים של הפולינום לקבוצה [math]\displaystyle{ \ K_0 = \{t \in K: t^q=t\} }[/math]. בקבוצה הזו לכל היותר q אברים (סעיף 13). מצד שני לא יכולים להיות בה פחות מ-q אברים לפי סעיף 16, שהרי [math]\displaystyle{ \ (x^q-x)' = qx^{q-1}-1 = -1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \ |K_0|=q }[/math]. כעת, הקבוצה הזו סגורה לחיבור (סעיף 14) ולכפל, ולפי סעיף 2 היא שדה - מסדר q, כמובטח.