פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,

(המבחן)

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס. דוגמה: [math]\displaystyle{ a_n=2(1+\frac{1}{n}) }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=-2(1+\frac{1}{n}) }[/math].

2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': [math]\displaystyle{ an=1/n }[/math]. ברור [math]\displaystyle{ a_n \to \infty }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{\sqrt[n]{a_n}}=1 }[/math]. אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{|a_n|} \to \infty }[/math].

3) ד'. [math]\displaystyle{ \infty }[/math] או 0 נק'. שתי דוגמאות: [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math], [math]\displaystyle{ a_n=1+1/n }[/math]. באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה בשלילה יש נקודה [math]\displaystyle{ x=c }[/math] בחיתוך ונתבונן במקום [math]\displaystyle{ n=c+1 }[/math], שלא מכיל את c כלל, בסתירה.

4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix} x+2 &x\neq 9 \\ x+3 & x=9 \end{matrix}\right. }[/math], [math]\displaystyle{ g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 &x\neq 9 \\ x+2 & x=9 \end{matrix}\right. }[/math]

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן [math]\displaystyle{ f(g(x))=\left\{\begin{matrix} x+5 &x\neq 9 \\ x+5 & x=9 \end{matrix}\right.=x+5 }[/math] והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.

גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.

5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} }[/math], שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור [math]\displaystyle{ -1\lt r\lt 1 }[/math], ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': [math]\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} & x\leq4 \\ 4x & else \end{matrix}\right. }[/math] עולה ממש ואינה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ (-152.3,17) }[/math].

הוכחת ב': בשלילה, [math]\displaystyle{ \exists x_1,x_2 \in \mathbb{R}:x1 \neq x_2 \wedge f(x_1) = f(x_2) }[/math].

בסתירה לכך ש [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ממש, שהרי בה"כ [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x_1) \lt f(x_2) }[/math] בסתירה להיותם שווים.

8) היה במערכי התרגול. הראינו שהיא עולה וחסומה.