פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,
1) נכון. זאת ההגדרה.
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
5) הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|\lt \epsilon }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{}a_n-b_n=a-b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n-b_n-(a-b)|\lt \epsilon ) }[/math]
[math]\displaystyle{ N\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \} }[/math].
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה [math]\displaystyle{ f|_{R^+} }[/math] היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
יהי [math]\displaystyle{ y\gt 0 }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y }[/math]. [math]\displaystyle{ h(0)=-y\lt 0 }[/math], ואילו מכיוון ש [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty }[/math], קיימת נקודה d עבורה [math]\displaystyle{ h(d)\gt 0 }[/math]. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,d) }[/math] שבה [math]\displaystyle{ h(x)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math]!
7) הפרכה: נתבונן בפונ'
[math]\displaystyle{
f(x)=\left\{\begin{matrix}
1 &x\geq 3 \\
-1 & x\lt 3
\end{matrix}\right.
}[/math]
בקטע [math]\displaystyle{ I=\mathbb{R} }[/math].
ברור ש[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל [math]\displaystyle{ f^2 }[/math] היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.