1) נכון. זאת ההגדרה.
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
5) הוכחה: יהי .
נגדיר: .
אז לכל מתקיים , כלומר
,
נחבר את שני האי-שוויונים:
אבל לפי אי-שוויון המשולש . נצמצם ב2 ונקבל ש. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור b.
מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
יהי . נגדיר . , ואילו מכיוון ש , קיימת נקודה d עבורה . לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה בקטע שבה , כלומר !
7) הפרכה: נתבונן בפונ'
בקטע .
ברור ש אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.