פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,
(המבחן )
1) נכון. זאת ההגדרה.
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
3) הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|\lt \epsilon }[/math]
[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{}a_n-b_n=a-b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n-b_n-(a-b)|\lt \epsilon ) }[/math]
נגדיר: [math]\displaystyle{ N\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \} }[/math].
אז לכל [math]\displaystyle{ n \geq N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n+b_n-(a+b)|\lt \epsilon \wedge |a_n-b_n-(a-b)|\lt \epsilon ) }[/math], כלומר
[math]\displaystyle{ |a_n-a+b_n-b|\lt \epsilon \wedge |a_n-a-(b_n-b)|\lt \epsilon }[/math],
נחבר את שני האי-שוויונים: [math]\displaystyle{ |a_n-a+b_n-b|+|a_n-a-(b_n-b)|\lt 2\epsilon }[/math]
אבל לפי אי-שוויון המשולש [math]\displaystyle{ 2|a_n-a|=|2(a_n-a)|=|a_n-a+b_n-b+a_n-a-(b_n-b)| \leq |a_n-a+b_n-b|+|a_n-a-(b_n-b)|\lt 2\epsilon }[/math]. נצמצם ב2 ונקבל ש[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }{a_n}=a }[/math]. כעת נחסר את המשוואות במקום לחבר, ונקבל באותו האופן עבור b.
מש"ל! (התרגיל הזה והתרגיל הבא די יפים :))
4)הוכחה: הטור מתכנס לפי הנתון (ל0). ע"י שינוי סדר איברים ניתן לשנות את הסכום, ולכן הטור מתכנס בתנאי (הוכחנו שלטורים מתכנסים בהחלט שינוי לא משפיע על הסכום). לפי משפט רימן אכן קיים טור כדרוש.
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה [math]\displaystyle{ f|_{R^+} }[/math] היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
יהי [math]\displaystyle{ y\gt 0 }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=\frac{x^5-x}{x^2+1}-y }[/math]. [math]\displaystyle{ h(0)=-y\lt 0 }[/math], ואילו מכיוון ש [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }f(x)=\lim_{x \to \infty }{}\frac{x^5-x}{x^2+1}-y=+\infty }[/math], קיימת נקודה d עבורה [math]\displaystyle{ h(d)\gt 0 }[/math]. לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,d) }[/math] שבה [math]\displaystyle{ h(x)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math]!
7) הפרכה: נתבונן בפונ'
[math]\displaystyle{
f(x)=\left\{\begin{matrix}
1 &x\geq 3 \\
-1 & x\lt 3
\end{matrix}\right.
}[/math]
בקטע [math]\displaystyle{ I=\mathbb{R} }[/math].
ברור ש[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל [math]\displaystyle{ f^2 }[/math] היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.
14) הוכחה: ידוע שהרכבת פונ' רבמ"ש בקטע היא רבמ"ש באותו קטע.
[math]\displaystyle{ sinx, \sqrt{x} }[/math] הן רציפות במ"ש בקטע הנתון (סינוס מחזורית, שורש הוכחנו בתרגול) ולכן גם ההרכבה [math]\displaystyle{ sin\circ \sqrt{x} }[/math] רבמ"ש.