פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב,

1) היה בתרגול (אוהד פתר), אך לא מופיע במערכי התרגול. לכן אעתיק את הפתרון לכאן:

א) נניח ש[math]\displaystyle{ \sum^{\infty } b_n }[/math] מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן [math]\displaystyle{ \sum^{\infty } 2^nb_{2^n} }[/math] מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש [math]\displaystyle{ 2^nb_{2^n}\rightarrow 0 }[/math].

לכל n קיים k כך ש- [math]\displaystyle{ 2^k\leq n \lt 2^{k+1} }[/math] (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת [math]\displaystyle{ k=\lfloor log_2{n} \right \rfloor }[/math]).

הסדרה [math]\displaystyle{ \left \{ b_n \right \} }[/math] יורדת ולכן [math]\displaystyle{ x\lt y\rightarrow b_x\gt b_y }[/math].

נפעיל נימוק זה על התוצאה שקיבלנו, ונקבל ש [math]\displaystyle{ b_{2^{k+1}}\leq b_n \leq b_{2^k} }[/math].

נכפיל ב[math]\displaystyle{ n }[/math] (חיובי) את אגפי האי-שוויון: [math]\displaystyle{ nb_{2^{k+1}}\leq nb_n \leq nb_{2^k} }[/math]

נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: [math]\displaystyle{ 0\leftarrow \frac{1}{2}2^{k+1}b_{2^{k+1}}=2^kb_{2^{k+1}}\leq nb_{2^{k+1}}\leq nb_n \leq nb_{2^k}\leq 2^{k+1}b_{2^k}\rightarrow 0 }[/math]\

ולכן לפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש - [math]\displaystyle{ nb_b\rightarrow 0 }[/math].

ב) דוגמה נגדית: [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n\cdot ln(n)} }[/math]. ממבחן העיבוי הטור [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר, אך בכל זאת [math]\displaystyle{ nb_n=\frac{1}{ ln(n)}\rightarrow 0 }[/math].

ג) ניקח את הסדרה [math]\displaystyle{ b_n=\left\{\begin{matrix} 2^{-k} &\exists k \in \mathbb{N}:n=2^k \\ 0 & else \end{matrix}\right.=1,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,0,0,\frac{1}{8}... }[/math].

הטור [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס (טור גיאומטרי עם אפסים שלא משפיעים), אבל בכל זאת [math]\displaystyle{ nb_n=1,1,0,1,0,0,0,1... }[/math] אינו מתכנס שכן יש לו תת סדרה ששווה 1 ובפרט שואפת לאחת (וידוע שאם סדרה מתכנסת לגבול אז גם כל תת סדרה שלה מתכנסת אליו).

2)א) נבדוק התכנסות בהחלט: ברור שהטור [math]\displaystyle{ \sum cos(\frac{1}{n}) }[/math] מתבדר לפי התנאי ההכרחי, שכן [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }cos(\frac{1}{n})=cos0=1 }[/math] שונה מ0.

הטור מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.

ב)