פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב,

(המבחן )

1) היה בתרגול (אוהד פתר), אך לא מופיע במערכי התרגול. לכן אעתיק את הפתרון לכאן:

א) נניח ש[math]\displaystyle{ \sum^{\infty } b_n }[/math] מתכנס. נפעיל את מבחן העיבוי -לכן [math]\displaystyle{ \sum^{\infty } 2^nb_{2^n} }[/math] מתכנס, ולפי התנאי ההכרחי זה גורר ש [math]\displaystyle{ 2^nb_{2^n}\rightarrow 0 }[/math].

לכל n קיים k כך ש- [math]\displaystyle{ 2^k\leq n \lt 2^{k+1} }[/math] (טענה אלגברית, אין צורך להוכיח - אבל נדמה לי שישירות אפשר לקחת [math]\displaystyle{ k=\left \lfloor log_2{n} \right \rfloor }[/math]).

הסדרה [math]\displaystyle{ \left \{ b_n \right \} }[/math] יורדת ולכן [math]\displaystyle{ x\lt y\rightarrow b_x\gt b_y }[/math].

נפעיל נימוק זה על התוצאה שקיבלנו, ונקבל ש [math]\displaystyle{ b_{2^{k+1}}\leq b_n \leq b_{2^k} }[/math].

נכפיל ב[math]\displaystyle{ n }[/math] (חיובי) את אגפי האי-שוויון: [math]\displaystyle{ nb_{2^{k+1}}\leq nb_n \leq nb_{2^k} }[/math]

נשתמש שוב בתוצאה האלגברית: [math]\displaystyle{ 0\leftarrow \frac{1}{2}2^{k+1}b_{2^{k+1}}=2^kb_{2^{k+1}}\leq nb_{2^{k+1}}\leq nb_n \leq nb_{2^k}\leq 2^{k+1}b_{2^k}\rightarrow 0 }[/math]\

ולכן לפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש, [math]\displaystyle{ nb_b\rightarrow 0 }[/math].

ב) דוגמה נגדית: [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{n\cdot ln(n)} }[/math]. ממבחן העיבוי הטור [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר, אך בכל זאת [math]\displaystyle{ nb_n=\frac{1}{ ln(n)}\rightarrow 0 }[/math].

ג) ניקח את הסדרה [math]\displaystyle{ b_n=\left\{\begin{matrix} 2^{-k} &\exists k \in \mathbb{N}:n=2^k \\ 0 & else \end{matrix}\right.=1,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,0,0,\frac{1}{8}... }[/math].

הטור [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס (טור גיאומטרי עם אפסים שלא משפיעים), אבל בכל זאת [math]\displaystyle{ nb_n=1,1,0,1,0,0,0,1... }[/math] אינו מתכנס שכן יש לו תת סדרה ששווה 1 ובפרט שואפת לאחת (וידוע שאם סדרה מתכנסת לגבול אז גם כל תת סדרה שלה מתכנסת אליו).

2)א) נבדוק התכנסות בהחלט: ברור שהטור [math]\displaystyle{ \sum cos(\frac{1}{n}) }[/math] מתבדר לפי התנאי ההכרחי, שכן [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }cos(\frac{1}{n})=cos0=1 }[/math] שונה מ0.

הטור מתבדר לפי התנאי ההכרחי. (כי [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0\leftrightarrow \lim_{n \to \infty }(-1)^na_n=0 }[/math])

ב) נבדוק התכנסות בהחלט: [math]\displaystyle{ \sum \begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix}\frac{1}{2^{3n}}=:\sum a_n }[/math]. נוכיח התכנסות בהחלט ע"י שימוש במבחן המנה:

[math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}= \begin{pmatrix} 2n+2\\ n+1 \end{pmatrix}\frac{1}{2^{3n+3}}\cdot \frac{2^{3n}}{\begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{(2n+2)!}{(n+1)!^2}\cdot \frac{n!^2}{(2n)!\cdot 2^3}=\frac{(2n+2)!}{(n+1)^2}\cdot \frac{1}{8(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{8(n+1)^2}=\frac{2n+1}{4n+4} }[/math]

נעבור לגבול: [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty }\frac{2n+1}{4n+4}=\frac{1}{2}\lt 1 }[/math], לכן הטור מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס.

ג) נבדוק התכנסות בהחלט: מתקיים [math]\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N}: e^n\geq \frac{1}{n}\Rightarrow n\geq log(\frac{1}{n})\Rightarrow \frac{1}{n}\leq \frac{1}{log(\frac{1}{n})} }[/math]

(שני האגפים חיוביים ולוג היא פונקצייה עולה. סימַנו כאן ln בתור לוג), ולכן ממבחן ההשוואה נובע שהתבדרות הטור ההרמוני גוררת את התבדרות הטור שלנו, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט. (למישהו יש נימוק יותר שגרתי?)

הטור כפול -1 מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ, ולכן הטור שלנו מתכנס בתנאי אף הוא (כפל בקבוע לא משנה להתכנסות). (הכפלתי משום שהטור עולה במקום יורד, ואנחנו ניסחנו את לייבניץ עבור סדרה יורדת)

3)א) הפונקצייה לא מוגדרת ב0, ובפרט לא רציפה שם, ובפרט לא רבמ"ש.

ב) נגזור: [math]\displaystyle{ (x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} }[/math].

בקטע [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] הפונקצייה היא רציפה בקטע סגור ולכן רבמ"ש לפי משפט קנטור. בקרן [math]\displaystyle{ (0, \infty) }[/math] ובקרן [math]\displaystyle{ ( -\infty,0) }[/math] נגזרת הפונ' חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac{1}{3} }[/math] ולכן הפונ' רבמ"ש בכל אחת מהן.

כעת ניזכר בכך שפונ' רציפה במ"ש באוסף קטעים רציפה במ"ש גם על האיחוד הכללי שלהם, ולכן קיבלנו שהפונקצייה רציפה במ"ש בכל הישר.

ג)הפונ' רציפה בכל הישר כהרכבת רציפות. לפי קנטור היא רציפה במידה שווה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math].

נגזור: [math]\displaystyle{ (log(1+x^2))'=\frac{2x}{1+x^2}\leq \frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}\leq 2 }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (-\infty ,-1)\cup (1,\infty) }[/math].

הנגזרת חסומה ולכן הפונקצייה רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ (-\infty ,-1]\cup [1,\infty) }[/math].

לכן היא רבמ"ש באיחוד הקטעים, שהוא [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

4)א) הפונ' הנתונה [math]\displaystyle{ \frac{cosx-1}{|cosx-1|} }[/math] היא רציפה כהרכבת רציפות בדיוק בכל הנקודות שבהן המכנה שונה מ0, כלומר בכל [math]\displaystyle{ x\neq 2\pi n }[/math]. נבדוק את סוגי האי-רציפות בנקודות שהן כן מהצורה [math]\displaystyle{ 2\pi n }[/math]:

יהי [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 2\pi n^+}\frac{cosx-1}{|cosx-1|}=+1 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 2\pi n^-}\frac{cosx-1}{|cosx-1|}=-1 }[/math] ולכן האי-רציפות היא ממין ראשון (קפיצה). בכך סיווגנו את כל נק' האי-רציפות של הפונקצייה הנתונה.

ב)היה בבוחן. הפונ' רציפה בדיוק כאשר המכנה שונה מ0, כלומר כאשר [math]\displaystyle{ x\neq \pi n }[/math]. בנקודות שהן כן מהצורה הזאת, הגבולות החד צדדיים הם שניהם 0 ולכן זאת אי רציפות סליקה.

ג) [math]\displaystyle{ \frac{1}{log(cos^2x)} }[/math]. הפונ' רציפה בדיוק כאשר פנים הלוג חיובי וגם המכנה שונה מ0, כלומר לפונ' יש אי רציפות כאשר [math]\displaystyle{ cos^2x=0 \, \, \vee log(cos^2x) =0 }[/math]. מכאן [math]\displaystyle{ cosx=0 \, \, \vee (cos^2x) =1 }[/math]. קיבלנו ש[math]\displaystyle{ x=\pi/2+\pi n \, \, \vee x=\pi n }[/math] הן הנק' בהן הפונ' אינה רציפה. זה שקול ל [math]\displaystyle{ x=\frac{\pi n}{2} }[/math].

בנק' שבהן פנים הלוג אי-חיובי, כלומר שבהן הקוסינוס מתאפס, הוא חיובי משני הצדדים ולכן האי-רציפות היא סליקה.

בנק' שבהן המכנה מתאפס, הגבול משני הצדדים הוא [math]\displaystyle{ + \infty }[/math] ולכן זה מין שני.

לסיכום:[math]\displaystyle{ \leftarrow x=\pi/2+\pi n }[/math] סליקה. [math]\displaystyle{ \leftarrow x=\pi n }[/math] מין שני.

5)א) אקסיומת השלמות: תהי [math]\displaystyle{ A\subset \mathbb{R} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ A \neq \varnothing }[/math] וגם [math]\displaystyle{ A }[/math] חסומה מלעיל, אזי יש ל[math]\displaystyle{ A }[/math] חסם עליון.

ב)הלמה של קנטור - מופיעה ברשימת המשפטים. הניסוח שם: תהי [math]\displaystyle{ I_n }[/math] סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה [math]\displaystyle{ I_1\subseteq I_2\subseteq ... }[/math], כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה c הנמצאת בכל הקטעים.

ג)משפט ערך הביניים - כנ"ל: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הרציפה בקטע [a,b]. אזי לכל [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] בין [math]\displaystyle{ f(a),f(b) }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=\alpha }[/math].

ד)כלל לופיטל: תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a. אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 }[/math] והגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math] קיים, אז גם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} }[/math] קיים, ושווה לו.