פתרון אינפי 1, תש"נ

שאלה 1

טענה 7.8 אצל ד"ר שיין: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצ' המוגדרת בסביבת [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f'(x_0) \neq 0 }[/math] וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] ורציפה בנקודה [math]\displaystyle{ y_0=f(x_0) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] גזירה ב-[math]\displaystyle{ y_0 }[/math], ונגזרתה שם שווה ל- [math]\displaystyle{ \frac{1}{f'(x_0)} }[/math].

הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0) }[/math].

לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{1}{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)} }[/math].

לפי ההנחות [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] רצפיה ב[math]\displaystyle{ y_0 }[/math], ולכן הביטוי הנ"ל שווה גם ל