שיחה:89-214 סמסטר א' תשעב/תרגילים

זה המקום לשאול שאלות על דברים שלא היו ברורים משיעורי הבית תנצלו אותו --Matan.Fatal

תרגיל 2

למתי התרגיל? לשבוע הקרוב (שמתחיל ב-13.11) או לזה שאחריו (מתחיל ב-20.11)? נעליים 13:33, 11 בנובמבר 2011 (IST)

מישהו? נעליים 19:43, 13 בנובמבר 2011 (IST)

לתרגיל מספר 2 קיבלתם שבועיים. --Matan.fatal 21:58, 16 בנובמבר 2011 (IST)

לתרגיל 2 או לתרגיל 3?

אלי, מדובר כאן על תרגיל 2 (אבל יש שבועיים גם לתרגיל 3). מתן, תודה על התשובה אבל עד שענית כבר התקיים התרגול שלי השבוע והגשתי את התרגיל. מסתבר גם שהמתרגל בקבוצה שלי (טל) חשב שהתרגיל לשבוע. הבעיה הייתה שבשאלה 16 צריך לדעת מה זה סדר של איבר, דבר שלמדנו רק בשיעור השבוע ולכן הייתי צריך לחפש באינטרנט את ההגדרה. כדי למנוע מצבים כאלה בעתיד אני מבקש לציין על גבי התרגיל את מועד ההגשה (כפי שלשמחתי נעשה בתרגיל 3). נעליים 10:47, 17 בנובמבר 2011 (IST)

שאלה...

אם איבר a הוא מסדר איינסופי, נכון להגיד כי a^n לכל n לא שווה לאפס? ולמה?

תודה

הכל תלוי למה אתה מחשיב את אפס. האם אתה מחשיב אותו לאיבר הנייטרלי? אם כן, אז התשובה לשאלה שלך היא כן. ההגדרה של סדר של איבר בחבורה הוא ה-n הטבעי המינימלי עבורו a^n=e (כאשר e מסמן איבר נייטרלי). עוד ההגדרה אומרת שהסדר הוא אינסופי אם אין כזה n. מכאן שהתשובה לשאלה שלך פשוט נובעת מההגדרה של סדר של איבר. מקווה שעזרתי, גל.

קודם כל תשובה מצויינת. שמתי לב ששאלת ועבר הרבה זמן שלא קיבלת תשובה, במידה ואתה שואל שאלה ולא ענו לך עליה תוך יום גג יומיים תשלח מייל לאחד המתרגלים להסתכל. מתן פטאל.

על הבוחן הוירטואלי

בשאלה הראשונה יש 19 סעיפים, שכל אחד מהם נותן מידע נוסף על הנתון הבסיסי (ש-A,B הן תת-חבורות). השאלה היא למצוא את כל הקשרים הלוגיים בין הטענות [math]\displaystyle{ \ \psi_1,\dots,\psi_{19} }[/math], כלומר, לכל [math]\displaystyle{ \ 1 \leq i \neq j \leq 19 }[/math], לקבוע האם הגרירה הלוגית [math]\displaystyle{ \ \psi_i \implies \psi_j }[/math] נכונה. אחרי שתזהו כמה טענות שקולות וכמה גרירות טריוויאליות, מספר הבעיות האמיתיות לא יהיה גדול מדי. לצד הוכחת הגרירות התקפות, כדאי שתציגו דוגמאות נגדיות לכל הגרירות שאינן תקפות, אבל חלק זה עשוי להיות קשה יותר.

אין צורך לחקור קבוצות של טענות (כלומר, גרירות מהסוג [math]\displaystyle{ \ \psi_{i} \wedge \psi_{i'} \implies \psi_j }[/math] או [math]\displaystyle{ \ \psi_{i} \wedge \psi_{i'} \wedge \psi_{i''} \implies \psi_j }[/math]). עוזי ו. 19:01, 17 בדצמבר 2011 (IST)

שאלות לקראת הבחינה

1. (מתוך מועד ב' תשע"א) "תן דוגמא לתמורה ב-S7 שאין שום דרך להציג כמכפלה של מחזורים באורך 3": בפתרון ניתנה התמורה (2 1) כדוגמא, האם גם תמורת הזהות יכולה להתקבל כתשובה?
2. (מתוך מועד ב' תשע"א) "קבע האם החבורות הבאות איזומורפיות או שאינן איזומורפיות": [math]\displaystyle{ A = Z48 X Z36 X Z4 , B = Z72 X Z16 X Z6 }[/math]. בפתרון נכתבה ההצגה הקנונית של החבורות: [math]\displaystyle{ A = Z4 X Z12 X Z144 , B = Z2 X Z24 X Z144 }[/math]. ברור לי שמכיוון שהאקספוננט של שתי החבורות הוא 144, ההצגה הקנונית של כל אחת מהן תסתיים עם Z144, אך לא ברור לי מדוע בהצגה של A התחלנו עם Z4 ואילו בזו של B עם Z2. נימוק אחר שהוצג בפתרון להיותן לא איזומורפיות היה ש-[math]\displaystyle{ 36A = Z4 , 36B = Z2 X Z4 }[/math]. האם זו דוגמא לשיטה אותה הצגת לקראת סיום ההרצאה ביום חמישי האחרון, בנוגע לקביעת איזומורפיות של חבורות אבליות סופיות, במקום להשתמש במשפט היחידות? האם יש תנאים מגבילים לשימוש בשיטה זו?
3. (מתוך מועד ב' תשע"א) "מיין את החבורות האבליות A מסדר (5^3)*(5^2) כך ש- 4^2 = |4^A/A| ו- 4^3 = |3^A/A|. כתוב את הצורה הקנונית של כל חבורה כזו. כמה חבורות כאלה יש, עד כדי איזומורפיזם?": בפתרון נכתב כי יש לפרק את A למכפלה ישרה פנימית A=BC כאשר 5^2 = |B| ו- 5^3 = |C|. כיצד אנו בטוחים כי ת"ח B,C המוגדרות כך עומדות בתנאים למכפלה ישרה פנימית? במהשך נכתב כי כך נקבל:[math]\displaystyle{ (*) A^4 = B^4 \times C , A^3 = B\times C^3 }[/math]. הבנתי את הדרישה לגבי הסדרים של 3^A ו- 4^A, אך לא הבנתי איך קיבלנו את שני הפירוקים שב- (*).
4. (מתוך מועד א' תש"ע) "הוכח שמספר האיברים במחלקת צמידות מחלק את סדר החבורה": הפתרון שלי מעט שונה מזה שתואר בפתרון הבחינה (ומההרצאה). רציתי להראות שכל קוסט של המרכז (centralizer) בחבורה של איבר למעשה מגדיר איבר במחלקת הצמידות, אסמן את המרכז של איבר g כ- (C(g: טענתי שאיבר w שייך לקוסט של (C(g: [math]\displaystyle{ y*C(g) }[/math] אם"ם w = yx כאשר x איבר ב- (C(g. מכאן ש- [math]\displaystyle{ w*g*(w^{-1}) = (yx)*g*(yx)^{-1} = yx*g*(x^{-1})*(y^{-1}) = y*g*(y^{-1}) }[/math] כלומר כל איבר בקוסט [math]\displaystyle{ y*C(g) }[/math] נותן איבר יחיד במחלקת הצמידות של g, ולכן מספר כל הקוסטים של (C(g הוא מספר האיברים במחלקת הצמידות. בכיוון השני טענתי שכל איבר במחלקת הצמידות ניתן לכתיבה כ- (כאשר x איבר ב- (C(g ), [math]\displaystyle{ y*g*(y^{-1}) =y*x*g*(x^{-1})*y^{-1} = yx*g*(yx)^{-1} = w*g*(w^{-1}) }[/math] כלומר כל איבר במחלקת הצמידות מגדיר קוסט של (C(g. לכן:[math]\displaystyle{ | [g] | = [G:C(g)] }[/math]. ומכאן שמספר האיבירם במחלקת צמידות מחלק את סדר החבורה. האם הוכחה זו נכונה?
5. האם יש דרך מובנית למציאת האוטומורפיזמים של חבורה כלשהי (או למי חבורת האוטומורפיזמים שלה איזומורפית)? <מתוך אימייל של סטודנט>