88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח

שאלה 1

א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה

ב. הוכח/הפרך: אם [math]\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{a_n}=L }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L }[/math]

פתרון

א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ n_1 }[/math]כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L-1\lt a_n\lt L+1 }[/math]. סה"כ:

[math]\displaystyle{ \forall n:\min\{a_1,...,a_{n_1},L-1\}\lt a_n\lt \max\{a_1,...,a_{n_1},L+1\} }[/math]

ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה [math]\displaystyle{ n }[/math], ובמקומות האי-זוגיים [math]\displaystyle{ n^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,... }[/math]

קל לראות כי [math]\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{a_n}=1 }[/math], אבל לא קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math]