88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח

שאלה 1

א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה

ב. הוכח/הפרך: אם [math]\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{a_n}=L }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L }[/math]

פתרון

א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ n_1 }[/math]כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L-1\lt a_n\lt L+1 }[/math]. סה"כ:

[math]\displaystyle{ \forall n:\min\{a_1,...,a_{n_1},L-1\}\lt a_n\lt \max\{a_1,...,a_{n_1},L+1\} }[/math]

ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה [math]\displaystyle{ n }[/math], ובמקומות האי-זוגיים [math]\displaystyle{ n^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,... }[/math]

קל לראות כי [math]\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{a_n}=1 }[/math], אבל לא קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math]

שאלה 2

נניח כי f פונקציה רציפה ב- [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math], גזירה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]. בנוסף נתון כי [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] והנגזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math]מונוטונית עולה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].

א. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ f'(x)\geq \frac{f(x)}{x} }[/math] ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].

ב. הוכיחו כי הפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=\frac{f(x)}{x} }[/math] מונוטונית עולה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].

פתרון

א. יהי [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]. נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע [math]\displaystyle{ [0,x] }[/math]. לכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt x }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x} }[/math]

אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ f'(x)\geq f'(c) = \frac{f(x)}{x} }[/math]

כפי שרצינו.

ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה

[math]\displaystyle{ g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2} }[/math]

כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':

[math]\displaystyle{ xf'(x)-f(x)\geq x\frac{f(x)}{x}-f(x)=0 }[/math]