מספרים ברי בנייה
מבוא: בניות בעזרת סרגל ומחוגה
משפחה מיוחדת של בעיות בגיאומרטיה אוקלידית היא בעיות בנייה. לדוגמא:
- כיצד ניתן לצייר (באופן מדוייק) מחומש משוכלל?
- בהינתן מעגל במישור, כיצד ניתן למצוא (=לצייר) את המרכז שלו?
- בהינתן זווית במישור, כיצד ניתן לחלק אותה לשניים?
בעיות אלו ועוד רבות אחרות עניינו גיאומטריקנים כבר מלפני הספירה. לרשותם עמדו מספר כלים פשוטים: סרגל ומחוגה. אנו נניח כי הסרגל הוא ללא שנתות. בדיקה תראה כי אכן ניתן לבצע כל אחת מהמשימות שתוארו לעיל בעזרת הכלים הללו בלבד.
מבחינה מתמטית, אנו מתחילים עם מספר אובייקטים גיאומטריים שכבר בנויים לנו, ואנו רשאים לבנות מהם אובייקטים חדשים על ידי הפעולות הבאות:
- לבנות ("לסמן") את נקודות החיתוך בין:
- א. שני ישרים שכבר בנינו
- ב. ישר שבנינו ומעגל שבנינו
- ג. שני מעגלים שבנינו
- לבנות ישר העובר דרך שתי נקודות שכבר בנינו (את זה אפשר "לעשות עם סרגל").
- לבנות מעגל שמרכזו בנקודה שבנינו ושעובר דרך נקודה שבנינו (את זה אפשר "לעשות עם מחוגה").
הערה: שימו לב שבונים רק ישרים, נקודות ומעגלים. כל דבר אחר שבונים ניתן לתיאור כבנייה של ישרים\נקודות\מעגלים המקיימים תכונה מסויימת. לדוגמא: קטע הוא ישר ושתי נקודות עליו, זווית היא שני ישרים ונקודת החיתוך ביניהם. דוגמא אחרת: כשמדברים על בניית מחומש בעצם מתכוונים לבנייה של חמישה ישרים.
תרגיל: הראו איך לבצע את הבניות הבאות:
- 1. בהינתן שתי נקודות, לבנות את אמצע הקטע המחבר אותן.
- 2. בהיתן קטע AB, לבנות ישר המאונך ל-AB ועובר דרך A.
- 3. בהינתן ישר L ונקודה P, לבנות מקביל ל-L העובר דרך P.
- 4. נתון קטע באורך 1, יש לבנות משולש שווה צלעות עם אורך צלע 1.
הגדרה
אינטואיטיבית, מספרים ברי בנייה הם מספרים שניתן לבנות באופן גיאומטרי בעזרת סרגל (ללא שנתות) ומחוגה ובהינתן קטע באורך 1. קיימות כמה הגדרות שקולות:
- מספר ממשי חיובי [math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math] נקרא בר בנייה אם, בהינתן קטע