88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים

שאלה 1

צטטו והוכיחו את הלמה של קנטור

שאלה 2

א. חשבו את הגבול

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}\Big) }[/math]

ב. קבעו האם הגבול קיים:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k} }[/math]

פתרון

א.

[math]\displaystyle{ \frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}=\frac{sin(x)-x}{xsin(x)} }[/math]

כיוון שהמונה והמכנה שואפים לאפס, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.

[math]\displaystyle{ \frac{cos(x)-1}{sin(x)+xcos(x)} }[/math]

שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.

[math]\displaystyle{ \frac{-sin(x)}{cos(x)+cos(x)-xsin(x)} }[/math]

כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא אפס.

ב.

נסמן את איברי הסדרה ב

[math]\displaystyle{ a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k} }[/math]

קל לראות כי

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}\leq \frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{k}\leq 0 }[/math]

ולכן הסדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת.

שאלה 3

קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

א. [math]\displaystyle{ \sum\frac{n+n^2+...+n^n}{n^{n+2}} }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ \sum\frac{cos\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)}{2n+\sqrt{n}} }[/math]

פתרון

א. [math]\displaystyle{ \sum\frac{n+n^2+...+n^n}{n^{n+2}}=\sum\frac{n\frac{1-n^{n}}{1-n}}{n^{n+2}}=\sum\frac{1-n^{n}}{(1-n)n^{n+1}}=\sum\frac{1}{(1-n)n^{n+1}}-\frac{1}{(1-n)n} }[/math]

ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ב.כיוון שהקוסינוס מקבל את הערכים אפס אחד ומינוס אחד במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור

[math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{2(2n+1)+\sqrt{2n+1}} }[/math]

קל לראות שזהו טור שאינו מתכנס בהחלט כיוון שהוא חבר של הטור ההרמוני, אבל כן מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ'.

שאלה 4

תהי f מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב-0 ומקיימת [math]\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y) }[/math] לכל זוג מספרים [math]\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R} }[/math].

הוכיחו כי f רציפה על כל הממשיים.

פתרון

• ראשית נבחין כי [math]\displaystyle{ f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math]

• כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:

• תהי [math]\displaystyle{ x_o\neq x_n\rightarrow x_0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0) }[/math]

• כיוון שהפונקציה רציפה באפס, וכיוון ש [math]\displaystyle{ 0\neq x_n-x_0\rightarrow 0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \lim f(x_n-x_0)=0 }[/math]

• ביחד [math]\displaystyle{ \lim f(x_n) = f(x_0) }[/math], ולכן לפי היינה מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) }[/math] ולכן הפונקציה רציפה.

שאלה 6

תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f'(x) }[/math] קיים וגדול מאפס.

הוכיחו כי f אינה חסומה מלעיל.

פתרון

• נסמן [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=L\gt 0 }[/math]. לכן קיים M כך שלכל [math]\displaystyle{ x\gt M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\gt \frac{L}{2}\gt 0 }[/math].

• לכן, החל מ- M הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.

• נניח בשלילה כי הפונקציה f חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמן ב-K.

• לפי הגדרת הגבול, קיים 'M כך שלכל [math]\displaystyle{ x\gt M' }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-K|\lt \frac{k}{2} }[/math]

• לכן ביחד לכל זוג [math]\displaystyle{ x,y\gt M' }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\lt K }[/math]

• ניקח [math]\displaystyle{ x\gt M,M' }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ h\gt 0 }[/math] לפי משפט לגראנז קיים [math]\displaystyle{ x\lt c\lt x+h }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} }[/math]

• כעת, מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)\gt \frac{L}{2} }[/math], אבל מצד שני [math]\displaystyle{ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq \frac{K}{h} }[/math] ולכן עבור h מספיק גדול נקבל סתירה.