88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים
שאלה 1
צטטו והוכיחו את הלמה של קנטור
שאלה 2
א. חשבו את הגבול
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\Big(\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}\Big) }[/math]
ב. קבעו האם הגבול קיים:
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k} }[/math]
פתרון
א.
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}=\frac{sin(x)-x}{xsin(x)} }[/math]
כיוון שהמונה והמכנה שואפים לאפס, ניתן להפעיל את כלל לופיטל. אם הגבול קיים לאחר גזירת המונה והמכנה בנפרד אז הוא שווה לגבול המקורי וסיימנו.
- [math]\displaystyle{ \frac{cos(x)-1}{sin(x)+xcos(x)} }[/math]
שוב, המונה והמכנה שואפים לאפס ולכן ניתן להפעיל את כלל לופיטל.
- [math]\displaystyle{ \frac{-sin(x)}{cos(x)+cos(x)-xsin(x)} }[/math]
כעת המונה שואף לאפס ואילו המכנה שואף לשתיים ולכן סה"כ הגבול הוא אפס.
ב.
נסמן את איברי הסדרה ב
- [math]\displaystyle{ a_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k} }[/math]
קל לראות כי
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}-\frac{1}{k}\leq \frac{1}{2k}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{k}\leq 0 }[/math]
ולכן הסדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי אפס ולכן מתכנסת.
שאלה 3
קבעו לגבי כל טור האם הוא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:
א. [math]\displaystyle{ \sum\frac{n+n^2+...+n^n}{n^{n+2}} }[/math]
ב. [math]\displaystyle{ \sum\frac{cos\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)}{2n+\sqrt{n}} }[/math]
פתרון
א. [math]\displaystyle{ \sum\frac{n+n^2+...+n^n}{n^{n+2}}=\sum\frac{n\frac{1-n^{n}}{1-n}}{n^{n+2}}=\sum\frac{1-n^{n}}{(1-n)n^{n+1}}=\sum\frac{1}{(1-n)n^{n+1}}-\frac{1}{(1-n)n} }[/math]
ואלה שני טורים מתכנסים ולכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.
ב.כיוון שהקוסינוס מקבל את הערכים אפס אחד ומינוס אחד במחזוריות הידועה, טור זה בעצם שווה לטור
- [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{2(2n+1)+\sqrt{2n+1}} }[/math]
קל לראות שזהו טור שאינו מתכנס בהחלט כיוון שהוא חבר של הטור ההרמוני, אבל כן מתכנס בתנאי לפי משפט לייבניץ'.
שאלה 4
תהי f מוגדרת על כל הממשיים, רציפה ב-0 ומקיימת [math]\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y) }[/math] לכל זוג מספרים [math]\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R} }[/math].
הוכיחו כי f רציפה על כל הממשיים.
פתרון
- ראשית נבחין כי [math]\displaystyle{ f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math]
- כעת, נחשב את גבול הפונקציה בנקודה כללית לפי היינה:
- תהי [math]\displaystyle{ x_o\neq x_n\rightarrow x_0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim f(x_n)=\lim f(x_n-x_0+x_0)=\lim f(x_n-x_0)+f(x_0) }[/math]
- כיוון שהפונקציה רציפה באפס, וכיוון ש [math]\displaystyle{ 0\neq x_n-x_0\rightarrow 0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \lim f(x_n-x_0)=0 }[/math]
- ביחד [math]\displaystyle{ \lim f(x_n) = f(x_0) }[/math], ולכן לפי היינה מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) }[/math] ולכן הפונקציה רציפה.
שאלה 5
מצאו פולינום [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in [0,1] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |cos(x)-p(x)|\lt 10^{-4} }[/math]
פתרון
קלי קלות באמצעות טיילור.
מי מתנדב לתרום את התשובה המלאה?
שאלה 6
תהי f פונקציה מוגדרת וגזירה על כל הממשיים, ונניח כי הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f'(x) }[/math] קיים וגדול מאפס.
הוכיחו כי f אינה חסומה מלעיל.
פתרון
- נסמן [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)=L\gt 0 }[/math]. לכן קיים M כך שלכל [math]\displaystyle{ x\gt M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\gt \frac{L}{2}\gt 0 }[/math].
- לכן, החל מ- M הנגזרת חיובית ממש ולכן הפונקציה מונוטונית עולה.
- נניח בשלילה כי הפונקציה f חסומה, לכן היא מונוטונית וחסומה ולכן מתכנסת למספר ממשי אשר נסמן ב-K.
- לפי הגדרת הגבול, קיים 'M כך שלכל [math]\displaystyle{ x\gt M' }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-K|\lt \frac{k}{2} }[/math]
- לכן ביחד לכל זוג [math]\displaystyle{ x,y\gt M' }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\lt K }[/math]
- ניקח [math]\displaystyle{ x\gt M,M' }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ h\gt 0 }[/math] לפי משפט לגראנז קיים [math]\displaystyle{ x\lt c\lt x+h }[/math] כך ש-
- [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} }[/math]
- כעת, מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)\gt \frac{L}{2} }[/math], אבל מצד שני [math]\displaystyle{ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leq \frac{K}{h} }[/math] ולכן עבור h מספיק גדול נקבל סתירה.