88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

הרצאה 2 (6/3/12)

שני כללים פשוטים:

1)[math]\displaystyle{ \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx }[/math].

2)[math]\displaystyle{ \int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx }[/math]. (עבור [math]\displaystyle{ c }[/math] קבוע)

אינטגרציה בחלקים:

נתחיל בנוסחה הידועה [math]\displaystyle{ [f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) }[/math] , לכן: [math]\displaystyle{ \int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x) }[/math] לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx }[/math]

שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)

נתחיל עם כלל השרשרת: [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x) }[/math].

לכן אם [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x) }[/math] ומזה נובע: [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)) }[/math].

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ y=g(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=g'(x) }[/math]. פעולה פורמלית: [math]\displaystyle{ dy=g'(x)dx }[/math]. כעת נציב את מה שסימנו:

[math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C }[/math] (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את [math]\displaystyle{ x }[/math]!!!)