88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

• חזרה להרצאות

הרצאה 2 (6/3/12)

שני כללים פשוטים:

1) [math]\displaystyle{ \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx }[/math].

2) [math]\displaystyle{ \int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx }[/math]. (עבור [math]\displaystyle{ c }[/math] קבוע)

דוגמאות

1) [math]\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c }[/math]

2) [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c }[/math]

3) [math]\displaystyle{ \int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c }[/math]

4) [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c }[/math]

דרך נוספת: [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c }[/math]

התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) [math]\displaystyle{ \int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c }[/math]

6) [math]\displaystyle{ \int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x }[/math]

אינטגרציה בחלקים:

נתחיל בנוסחה הידועה [math]\displaystyle{ [f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x) }[/math] , לכן: [math]\displaystyle{ \int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x) }[/math] לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx }[/math]

דוגמאות

1) [math]\displaystyle{ \int xcosxdx }[/math]

נבחר [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'(x)=cosx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c }[/math]

2) [math]\displaystyle{ \int x^{2}cosxdx }[/math]

נבחר [math]\displaystyle{ f(x)=x^{2} }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'(x)=cosx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx }[/math]

נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: [math]\displaystyle{ F=2x }[/math] ו [math]\displaystyle{ G'(x)=sinx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c }[/math]

ולכן התוצאה הסופית [math]\displaystyle{ \int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c }[/math]

3) [math]\displaystyle{ \int x^{2}lnxdx }[/math]

לא מומלץ לבחור [math]\displaystyle{ f(x)=x^{2} }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'(x)=lnx }[/math], כי מיד נצטרך למצוא את [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] שהיא הפונקציה הקדומה של [math]\displaystyle{ lnx }[/math], ועוד לא חישבנו אותה.

אלא שנכתוב: [math]\displaystyle{ f(x)=lnx }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'(x)=x^{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c }[/math]

4) [math]\displaystyle{ \int lnxdx }[/math]

נבחר [math]\displaystyle{ f(x)=lnx }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'(x)=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c }[/math]

5) [math]\displaystyle{ \int e^{x}cosxdx }[/math]

נבחר [math]\displaystyle{ f(x)=e^{x} }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'(x)=cosx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx }[/math]

נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: [math]\displaystyle{ f(x)=e^{x} }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'(x)=sinx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx }[/math]

קיבלנו: [math]\displaystyle{ \int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx }[/math]

נעביר אגף ונקבל: [math]\displaystyle{ 2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx) }[/math]

ולכן התשובה הסופית היא: \int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c

שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)

נתחיל עם כלל השרשרת: [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x) }[/math].

לכן אם [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x) }[/math] ומזה נובע: [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)) }[/math].

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ y=g(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=g'(x) }[/math]. פעולה פורמלית: [math]\displaystyle{ dy=g'(x)dx }[/math]. כעת נציב את מה שסימנו:

[math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C }[/math] (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את [math]\displaystyle{ x }[/math]!!!)