המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-
. נגדיר גם:
. אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו
רציפה,
גזירה ו-
.
ג) אם רציפה בכל
, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ:
.
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו-
"קטן" כך ש-
. לפי הגדרה:
ולכן
.
נתון ש-f חסומה, נגיד
.
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה
כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי
קיימת ושווה ל-
. נחזור לפונקציה
.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר
, מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי
.
נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1:
ולכן
.
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . כיוון ש-f רציפה, קיים
כך שאם
אז
.כעת נניח
, לכן לכל t כזה:
כך ש-
.
מכאן ש-
אבל ולכן
.
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-
, מכאן נובע
.
סעיף ג'
ידוע כי רציפה על כל
, ולכן ע"פ סעיף ב',
פונקציה קדומה של
. נתון גם כי
פונקציה קדומה של
, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים
עבור c כלשהו.
לכן:
ולכן בסך הכל :.