הפולינום האופייני

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

[math]\displaystyle{ f_A(x):=\Big|xI-A\Big| }[/math]

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

התנאים הבאים שקולים:

• x ע"ע של המטריצה A
• קיים v שונה מאפס כך ש Av=xv
• קיים v שונה מאפס כך ש Av-xv=0
• קיים v שונה מאפס כך ש [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]
• קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ N(A-xI)\neq 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \Big|A-xI\Big|=0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]

אם כך: x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A