88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 5 (18/3/12)

• חזרה להרצאות

הרצאות 5+6+7 (18+20+25/3/12)

הפעם אין צורך שאני יעלה את ההרצאות במלואן כי מצאתי את החומר באתר, אבל בשביל הנוחות אתן קישורים:

חלקים 1-3 : האינטגרל לפי דרבו

חלק 1

חלק 2

חלק 3 חלקים 3-4 : האינטגרל לפי רימן

משפט 1: יהיו [math]\displaystyle{ g(x),f(x) }[/math] מוגדרות ואינטגרביליות ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ו- [math]\displaystyle{ c \in \mathbb{R} }[/math] קבוע. אז הפונקציות [math]\displaystyle{ f \pm g }[/math] אינטגרביליות ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ומתקיים:

1) [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b}\left [ f(x) \pm g(x) \right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx }[/math]

2) [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx }[/math]

3) אם [math]\displaystyle{ f(x)\leq g(x) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx }[/math]

4) [math]\displaystyle{ \left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left |f(x) \right |dx }[/math]

5) אם [math]\displaystyle{ \left |f(x) \right |\leq M }[/math] ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ \left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq M(b-a) }[/math]

6) [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b}cdx=c(b-a) }[/math]

משפט 2 (המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי- משפט ניוטון-לייבניץ): תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת חסימה ואינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נגדיר: [math]\displaystyle{ \forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt }[/math].אזי:

א) [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

ב) אם [math]\displaystyle{ f(x_{0}) }[/math] רציפה עבור [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math], אזי [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] גזירה שם ומתקיים [math]\displaystyle{ A'(x_{0})=f(x_{0}) }[/math].

ג) אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ו-F פונקציה קדומה ל-f,אז מתקיימת נוסחת ניוטון לייבניץ: [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a) }[/math].

הוכחה(לב זלוטניק)

משפט 3 אינטגרל מסויים בחלקים: [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)dx }[/math]

את ההוכחות אני יעלה במועד מאוחר יותר!

למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)