88-236 אינפי 4 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5

שאלה 1

בכל אחד מהסעיפים הבאים נתונה תת קבוצה [math]\displaystyle{ M \subset \mathbb{R}^2 }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : g(x,y)=0 \} }[/math]. קבע האם [math]\displaystyle{ M }[/math] יריעה, ושרטט את הצורה במישור. במידה וזו יריעה קבע את מימדה ומצא עבורה אטלס.

א. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2:y-x^3=0\} }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2:y^2-x^3=0\} }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2:y^2-x^4=0\} }[/math]

ד. [math]\displaystyle{ M=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:9x^2+y^2-1=0\} }[/math]

ה. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2:y^2-x^2=0\} }[/math]

שאלה 2

בכל אחד מהסעיפים הבאים נתונה תת קבוצה [math]\displaystyle{ M \subset \mathbb{R}^3 }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3:g(x,y,z)=0\} }[/math]. קבע האם [math]\displaystyle{ M }[/math] יריעה ושרטט את הצורה במרחב. במידה וזו יריעה קבע את מימדה ומצא עבורה אטלס.

א. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z-x^2-y^2=0\} }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : 1-x^2-y^2=0 \} }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x y z=0 \} }[/math]

שאלה 3

בכל אחד מהסעיפים הבאים נתונה תת קבוצה [math]\displaystyle{ M \subset \mathbb{R}^3 }[/math], המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ M=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : g_1(x,y,z)=0,g_2(x,y,z)=0 \} }[/math]. קבע האם [math]\displaystyle{ M }[/math] יריעה, ושרטט את הצורה במרחב. במידה וזו יריעה קבע את מימדה ומצא עבורה אטלס.

א. [math]\displaystyle{ M=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=1,y=0 \} }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x^2+z^2-1=0,x=0 \} }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z-xy=0,z=0 \} }[/math]

שאלה 4

נתונה תת קבוצה[math]\displaystyle{ M \subset \mathbb{R}^3 }[/math] המוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ M=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2-9=0,x+y+z+0\} }[/math]

א. האם תת קבוצה זו היא יריעה? אם כן, מהו מימדה? כיצד נראית צורה זו במרחב?

ב. עבור אילו ערכים של הפרמטר [math]\displaystyle{ a }[/math], הקבוצה [math]\displaystyle{ M_a=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2-9=0,x+y+z=a \} }[/math] היא יריעה ממימד 1?

ג. איזו צורה מתקבלת עבור הערכים האחרים של הפרמטר [math]\displaystyle{ a }[/math]?

בהצלחה!