88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5

1.

קבע תחום התכנסות ותחום התכנסות במ"ש של הפונקציות הבאות

א.

$f_n(x)=\frac{x}{n}ln\Big(\frac{x}{n}\Big)$ כאשר $x\in(0,1)$

ב.

$f_n(x)=\frac{1}{n}sin\Big(e^nx\Big)$ כאשר $x\in(-\infty,\infty)$

ג.

$f_n(x)=nsin\Big(\frac{x}{n}\Big)$ כאשר $x\in(-\infty,\infty)$

ד.

$f_n(x)=x\cdot arctan(nx)$ כאשר $x\in(0,\infty)$

2.

(ממבחן)

תהי סדרת פונקציות $f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$. נתון כי $f_n\rightrightarrows f$ (במ"ש) בקטע $[0,1]$ וכי f חסומה בקטע. הוכיחו כי:

$\sup_{[0,1]}f_n(x)\rightarrow \sup_{[0,1]}f(x)$