מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4

מתוך Math-Wiki

חזרה למערכי השיעור

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.


[math]\displaystyle{ arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math]


[math]\displaystyle{ arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi] }[/math]


[math]\displaystyle{ arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math]


תרגיל: הוכח כי [math]\displaystyle{ sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2} }[/math]


תרגילים

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

  • [math]\displaystyle{ |cos(x)|\leq \frac{1}{\sqrt{2}} }[/math]


  • [math]\displaystyle{ sin(x^2+1)\lt 0 }[/math]


  • [math]\displaystyle{ sin(ax)\gt 0 }[/math]


  • [math]\displaystyle{ arcsin(|x-1|)\gt \frac{\pi}{4} }[/math]


  • [math]\displaystyle{ sin(2x) \lt 2sin(x) }[/math]


  • [math]\displaystyle{ \sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 \lt 0 }[/math]


מספרים מרוכבים

נביט באוסף האיברים מהצורה

[math]\displaystyle{ a+b\cdot i }[/math]


כאשר [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R} }[/math] והאות i הינה לצורך סימון בלבד. נקרא לאוסף זה מספרים מרוכבים.


נגדיר פעולות חיבור וכפל בין מספרים מרוכבים:


[math]\displaystyle{ (a+b\cdot i) + (c + d\cdot i) = (a+c) + (b+d)\cdot i }[/math]


[math]\displaystyle{ (a+b\cdot i)(c+d\cdot i) = (ac-bd) + (bc+ad)\cdot i }[/math]


שימו לב כי [math]\displaystyle{ i^2 = -1 }[/math]


תרגיל הוכח שלכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z }[/math] קיים מספר מרוכב [math]\displaystyle{ w }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ z\cdot w = 1 }[/math].

הערה: באופן כללי נסמן [math]\displaystyle{ w=\frac{1}{z} }[/math]


תרגיל חשב את הביטוי [math]\displaystyle{ \frac{5+2i}{2-3i} }[/math]