מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/1.8.12
טרם נערך
………
תוכן עניינים
דוגמה
פתרון
לכן ונסמן . נציב ונגזור לפי : .
נבדוק ונקבל שזה פיתרון. עתה נניח ש־ ולכן
.ו־ פתרון סינגולרי בצורת קו ישר.
מקרה 2
. במקרה זה נציב . נבחר את כך שיאפסו את המחוברים הקבועים במונה ובמכנה, וכך נגיע למד״ר הומוגנית עבור כפונקציה של .
דוגמה
. אזי ונציב באופן הנ״ל. מתקיים . נרצה ש־. לפיכך ונסמן .לפיכך . נקבל ומכאן ש־. לבסוף, .
מד״ר לינאריות מסדר ראשון
. אם המד״ר הומוגנית ניתן להפריד משתנים ולהגיע לפתרון . כדי לפתור מד״ר אי־הומוגנית קודם כל פותרים את המד״ר ההומוגנית המתאימה (בודקים ) ואז מציבים במקום . לסיום פותרים עבור הפונקציה .
תרגיל
מצא את הפתרון הכללי של המד״ר .
פתרון
נביא את המד״ר לצורה ע״י חילוק ב־: . לכן . המד״ר ההומוגנית המתאימה היא שפתרונה . נשתמש בווריאציית המקדמים ונצא פתרון מהצורה . נציב במד״ר . עתה ולכן .
תרגיל
נתון מעגל חשמלי כמתואר בציור. לפי חוק קירכהוף הזרם במעגל, , מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית .
- בהנתן שבזמן המעגל פתוח ומייד לאחר מכן סוגרים את המתג, מצא את הזרם החשמלי במעגל בזמן כלשהו.
- מהו הזרם החשמלי במעגל לאחר זמן רב, ?
פתרון
- כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה . המד״ר היא . נביא לצורה . עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא
………
- כעבור זמן רב הזרם הוא (Ampe`re).
תרגיל
פתור בקטע .
פתרון
זוהי מד״ר לינארית מסדר ראשון עם . ע״ס הנוסחה בקטע הנתון ולכן ניתן להתעלם מהערך המוחלט.
………
משוואת ברנולי
. ניתן להציב ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית
………
מד״ר מדויקת
מד״ר מהצורה נקראת מדוייקת בתחום אם קיימת פוקנציה סקלרית כך ש־. אם כן המד״ר היא ופתרונותיה הן עקומות הרמה של . תנאי הכרחי הוא .
תרגיל
פתור את המד״ר .
פתרון
נכפיל ב־ ונקבל ונחפש פונקצית דיפרנציאל כנ״ל.
.
………
ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי ונגרוש ש־ מדוייקת. כדי ש־ תהא תלויה ב־ בלבד צריך להתקיים
…………
תרגיל
פתרו . אזי . ולכן המד״ר אינה מדויקת. אבל , כלומר התלות ב־ בלבד, כדרוש.