מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/5/פתרון 5

מצא את נגזרות הפונקציות הבאות:

לפי נגזרות של פונקציות אלמנטריות: [math]\displaystyle{ f'(x)=2x-sin(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=e^{cos(x)}\cdot\Big(cos(x)\Big)'=-e^{cos(x)}sin(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=2(x^2+1)\cdot(2x)=4x^3+4x }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=10(x^2+1)^9\cdot(2x)=20x(x^2+1)^9 }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(x)=11\Big(sin(x)+cos(x)\Big)^{10}\cdot\Big(cos(x)-sin(x)\Big) }[/math]

[math]\displaystyle{ arctan\Big(\frac{sin(e^x)\cdot ln(cos(x))}{e^x\cdot x^e}\Big) }[/math]

לאט ובזהירות: פיתרון כאן

[math]\displaystyle{ |x| }[/math] (זכרו כי באפס הפונקציה אינה גזירה, וחלקו למקרים)

לכל x>0: קיימת סביבה של x בה הפונקציה שווה [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f'(x)=1 }[/math]

לכל x<0: קיימת סביבה של x בה הפונקציה שווה [math]\displaystyle{ f(x)=-x }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f'(x)=-1 }[/math]

סה"כ: [math]\displaystyle{ f'(x)=\begin{cases}1 & x\gt 0 \\ -1 & x\lt 0\end{cases} }[/math] (והנגזרת לא מוגדרת בx=0)

[math]\displaystyle{ e^x }[/math] ו[math]\displaystyle{ ln(x) }[/math] הן פונקציות הופכיות. לכן: [math]\displaystyle{ ln(e^{f(x)})=f(x) }[/math].

לכן: [math]\displaystyle{ ln(ln\Big(e^{e^x}\Big))=ln(e^x)=x }[/math]. לכן הנגזרת היא 1.

[math]\displaystyle{ x^x }[/math] (רמז: הוכיחו קודם כי [math]\displaystyle{ f^g=e^{g\cdot ln(f)} }[/math])

[math]\displaystyle{ f^g=(e^{ln(f)})^g=e^{g\cdot ln(f)} }[/math]. לכן:

[math]\displaystyle{ x^x=e^{x\cdot ln(x)} }[/math]. לכן הנגזרת היא:

[math]\displaystyle{ f'(x)=e^{x\cdot ln(x)} \cdot (x\cdot ln(x))'=e^{x\cdot ln(x)} \cdot(ln(x)+1)=x^x\cdot \Big(ln(x)+1\Big) }[/math]