מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/11

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־11:58, 23 באוגוסט 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (חילוק פולינומים)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למערכי השיעור

פירוק פולינומים

לכל פולינום p(x), אם p(a)=0 אזי הפולינום מתחלק ב(x-a)


פירוק פולינום ריבועי:

ax^2+bx+c = a\Big(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)\Big(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)


לפולינומים אחרים נשתמש בנוסחאות כפל מקוצר או ננחש שורש, ואם נצליח נחלק בו.


דוגמא:

x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)


חילוק פולינומים

נביט בפולינום p(x)=x^3-4x^2+2x+1 ונשים לב כי p(1)=0 ולכן נחלק בx-1


אלגוריתם לחילוק פולינומים


א. חלק את המונום הגבוה של הפולינום המחולק במונום הגבוה של הפולינום המחלק

\frac{x^3}{x}=x^2


ב. כפול את התוצאה בפולינום המחלק, וחסר מהפולינום המחולק

x^3-4x^2+2x+1 - x^2[x-1]= -3x^2+2x+1


ג. חזור לשלב א' כאשר הפולינום המחולק הוא התוצאה מסעיף ב'. סכום חלוקות המונומים מסעיף א' הוא המנה


\frac{-3x^2}{x}=-3x


-3x^2+2x+1 - (-3x)[x-1]= -x+1


\frac{-x}{x}=-1


-x+1 - (-1)[x-1] = 0


ביחד מתקיים: x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1)


פירוק לשברים חלקיים

חשב את האינטגרל \int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx


על מנת לחשב את האינטגרל נפרק לשברים חלקיים:


\frac{1}{x(x-1)(x-2)}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}


נבצע מכנה משותף


\frac{1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-1)(x-2) +Bx(x-2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}