מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/מבחן דמה

הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

הוראות

פתרו כמה שיותר מן השאלות הבאות. פתרון נכון של שאלה מקנה 17 נקודות.

נגדיר שתי פונקציות

[math]\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}x & x\gt 1 \\ 0 & x=1 \\ |x+1| & x\lt 1\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2 & x\gt 2 \\ 0 & x=2 \\ g(x) & x\lt 2\end{cases} }[/math]

מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ f\Big( g(x)\Big) + x \gt |x-1| }[/math]

מצא את כל הפתרונות למשוואה

[math]\displaystyle{ z^4=2-2i }[/math]

הוכח כי [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} }[/math]

מצא את נקודת החיתוך של הישר המאונך למישור שמשוואתו [math]\displaystyle{ x-y+2z=3 }[/math] ועובר בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math].

רמז: חיתוך של שני מישורים לא מקבילים הוא ישר, ולכן ישר במרחב מתואר על ידי חיתוך של שני מישורים.

הוכח כי לכל n מתקיים:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\lt \frac{n-1}{n} }[/math]

פתרו את האינטגרל הבא

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx }[/math]

רמז: הציבו [math]\displaystyle{ t=(1+x)^{1/6} }[/math]

פתרו את האינטגרל הבא

[math]\displaystyle{ \int ln(x)dx }[/math]

הגדרה: פונקציה f נקראת חד-חד-ערכית אם מתקיים עבורה התנאי הבא:

[math]\displaystyle{ \forall x_1\in \mathbb{R}\forall x_2\in\mathbb{R}:\Big(f(x_1)=f(x_2)\Big)\rightarrow (x_1=x_2) }[/math]

נסח תנאי שקול לכך ש f פונקציה שאינה חד-חד-ערכית.

קבע עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות אם היא חד-חד-ערכית. הוכח את קביעתך:

הוכח כי לכל שלוש קבוצות A,B,C מתקיים

[math]\displaystyle{ A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) }[/math]

הוכח כי לכל ארבע קבוצות A,B,C,D מתקיים

[math]\displaystyle{ (A\backslash B)\cap (C\backslash D)\subseteq (A\cap C)\backslash (B\cap D) }[/math]