88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1

1

מצא ע"ע ומרחבים עצמיים של המטריצות הבאות:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4\end{pmatrix} }[/math]

תהי מטריצה ריבועית A ויהיו [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] ו"ע של A עם ע"ע [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math] בהתאמה.

הוכח: [math]\displaystyle{ v_1,v_2 }[/math] תלויים לינארית אם"ם [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math]

יהי וקטור שורה [math]\displaystyle{ v=(x_1,...,x_n) }[/math]. מצא את הע"ע והמרחבים העצמיים של המטריצה

[math]\displaystyle{ A=v^Tv }[/math]

(כאשר [math]\displaystyle{ v^T }[/math] הוא הוקטור v בעמודה)

רמז: מהי הדרגה של המטריצה A? שנית, אתם יכולים לנסות כמה דוגמאות על מנת להבין את הרעיון.

תהיינה A,B מטריצות דומות

הוכח כי לשתי המטריצות אותו פולינום אופייני ולכן גם אותם ע"ע

יהי פולינום כלשהו [math]\displaystyle{ g(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n }[/math].

הוכח כי המטריצות [math]\displaystyle{ g(A),g(B) }[/math] דומות

(תזכורת: [math]\displaystyle{ g(A)=a_0I+a_1A+...+a_nA^n }[/math])

הוכח כי 0 ע"ע של A אם"ם A אינה הפיכה.

תהנייה שתי מטריצות A,B. הוכח כי למטריצות [math]\displaystyle{ AB,BA }[/math] אותם ע"ע

רמז. [math]\displaystyle{ A(BA)v=(AB)Av }[/math]