88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3
מתוך Math-Wiki
שאלה 1
יהי מרחב מדיד, ותהי
. הוכיחו:
מדידה
פונקציית האינדיקטור
היא מדידה.
שאלה 2
בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים יתקיים לכל
. הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא:
אםתת קבוצה צפופה של
, ולכל
אחד מהתנאים
מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.
רמז: לכל יש סדרת נקודות
ב-
המתכנסת אליה.
שאלה 3
יהיו מ"מ,
מדידה, ו-
רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות,
היא פונקציה מדידה.
(הערה: תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות מהתרגול הן מדידות).
שאלה 4
תהי מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):
א.
ב.
שאלה 5
יהי מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם
מדידה ומקיימת
לכל
, אזי הפונקציה
גם היא מדידה.
בהצלחה!