88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 5

שאלה 1

תזכורת: מידה [math]\displaystyle{ \mu }[/math] על מרחב מדיד [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{S}) }[/math] נקראת שלמה אם לכל קבוצה מדידה [math]\displaystyle{ E \in \mathcal{S} }[/math], עבורה [math]\displaystyle{ \mu(E)=0 }[/math], מתקיים שכל תת-קבוצה שלה [math]\displaystyle{ F \subseteq E }[/math] היא מדידה (כלומר נמצאת ב-[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]).

יהי [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{S},\mu) }[/math] מרחב מידה חיובית ושלמה ותהי [math]\displaystyle{ f:X \to \mathbb{R}^* }[/math] פונקציה מדידה. תהי [math]\displaystyle{ g:X \to \mathbb{R}^* }[/math] פונקציה השווה ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] כמעט בכל מקום, ז"א [math]\displaystyle{ \mu \left( \{ x \in X:f(x) \neq g(x) \} \right)=0 }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ g }[/math] אף היא מדידה.

שאלה 2

בתרגיל הקודם הוכחנו שלכל [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p+n)^2}=-\int_0^1 \frac{x^p}{1-x} \log x \, dm(x) }[/math]. לא קשה לראות שהנוסחה נכונה גם עבור [math]\displaystyle{ p=0 }[/math], ובמקרה זה מקבלים [math]\displaystyle{ -\int_0^1 \frac{\log x}{1-x} \, dm(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\zeta(2) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} }[/math] היא פונקצית זטא של רימן.

הוכיחו את ההכללה הבאה של תוצאה זו: לכל [math]\displaystyle{ s \ge 2 }[/math] טבעי [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\frac{1}{(s-1)!} \int_{0}^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} \, dm(x) }[/math].

הדרכה:

א. הוכיחו כי לכל [math]\displaystyle{ s \ge 2 }[/math] וטבעי מתקיים [math]\displaystyle{ -\int_0^1 \frac{\log^{s-1} x}{1-x} \, dm(x)=(-1)^{s} (s-1)! \zeta(s) }[/math] (ההוכחה דומה לתרגיל הקודם).

ב. בצעו החלפת משתנים מתאימה, כלומר כזו שתעביר את תחום האינטגרציה מהקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] אל הקרן [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] (אולי עדיף לפצל לשתי החלפות משתנים).

ג. ברכות! מצאתם ייצוג אינטגרלי של פונקציית זטא.

שאלה 3

יהיו [math]\displaystyle{ a \neq 0,b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] מדידה לבג ואינטגרבילית. הוכיחו כי מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{|a|} \int_\mathbb{R} f(x)=\int_\mathbb{R} f(ax+b) }[/math].

הדרכה:

א. הוכיחו זאת תחילה לפונקציות אינדיקטור. לשם כך בדקו מהי הפונקציה [math]\displaystyle{ I_E(ax+b) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ I_E(x)=\begin{cases} 1 & x \in E \\ 0 & x \notin E \end{cases} }[/math]

ב. הוכיחו כי הטענה נכונה גם לפונקציות פשוטות.

ג. הוכיחו זאת לפונקציות חיוביות כלשהן בעזרת משפט ההתכנסות המונוטונית של לבג.

ד. כדי להראות זאת לפונקציה כללית, אפשר להראות שאם [math]\displaystyle{ g(x)=f(ax+b) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ g^+(x)=f^+(ax+b) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ g^-(x)=f^-(ax+b) }[/math]. כאשר [math]\displaystyle{ g^+ \ge 0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ g^- \ge 0 }[/math] הן החלק החיובי והחלק השלילי בהתאמה של הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math].

בהצלחה!