88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 6

שאלה 0 (לא להגשה)

קראו בויקיפדיה על פונקציית קנטור, ועל הדרך שבעזרתה בונים קבוצת לבג שאיננה קבוצת בורל (ובעצם מוכיחים ש- [math]\displaystyle{ \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subsetneq \mathcal{L}(\mathbb{R}) }[/math]).

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{S},\mu) }[/math] ממ"ח, [math]\displaystyle{ f:X \to [0,\infty] }[/math] מדידה ואי-שלילית, ומקיימת [math]\displaystyle{ \int_X f \, d\mu=c }[/math] באשר [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt \infty }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ \alpha\gt 0 }[/math] קבוע.

הוכיחו כי מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_X {n \log \left[ 1+\left( \frac{f}{n} \right)^\alpha \right]}=\begin{cases} \infty & 0\lt \alpha\lt 1 \\ c & \alpha=1\\ 0 & 1\lt \alpha \lt \infty \end{cases} }[/math]

רמז: אם [math]\displaystyle{ \alpha \ge 1 }[/math], האינטגרנדים נשלטים ע"י [math]\displaystyle{ \alpha f }[/math],

ואם [math]\displaystyle{ \alpha\lt 1 }[/math] ניתן להפעיל את למת פאטו.

שאלה 2

יהי [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{S},\mu) }[/math] ממ"ח, ותהי [math]\displaystyle{ f:X \to [0,\infty] }[/math] מדידה [math]\displaystyle{ d \mu }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ E \in \mathcal{S} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ \nu(E)=\int_E f \, d \mu }[/math]. הוכחנו בהרצאה כי [math]\displaystyle{ \nu }[/math] היא מידה.

א. הוכיחו כי לכל [math]\displaystyle{ g:X \to [0,\infty] }[/math] מדידה [math]\displaystyle{ d \mu }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \int_X g \, d\nu=\int_X g f \, d \mu }[/math].

(הדרכה: הראו זאת בשלבים כמו בתרגיל הקודם - התחילו מפונקציית אינדיקטור, וסיימו בפונקציה אי-שלילית כללית)

ב. באיזה תנאי פונקציה [math]\displaystyle{ g:X \to \mathbb{R}^* }[/math] אינטגרבילית [math]\displaystyle{ d \nu }[/math]?

שאלה 3

יהי [math]\displaystyle{ (\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}),\mu) }[/math] ממ"ח בו [math]\displaystyle{ \mu }[/math] היא מידת הספירה. פונקציות [math]\displaystyle{ \mathbb{N} \to \mathbb{R} }[/math] הן בעצם סדרות של מספרים ממשיים.

א. תהיינה [math]\displaystyle{ a,b:\mathbb{N} \to \mathbb{R} }[/math] הפונקציות המוגדרות ע"י [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{n},b_n=\frac{(-1)^n}{n^2} }[/math]. מי מהן מדידה? מי מהן אינטגרבילית? חשבו את האינטגרל של האינטגרבילית מביניהן.

ב. תנו אפיון (תנאי הכרחי ומספיק) של הפונקציות המדידות [math]\displaystyle{ a:\mathbb{N} \to \mathbb{R} }[/math].

ג. כנ"ל עבור הפונקציות האינטגרביליות.

ד. מצאו ביטוי לאינטגרל של פונקציה אינטגרבילית [math]\displaystyle{ a:\mathbb{N} \to \mathbb{R} }[/math].

(שימו לב שתאריך ההגשה הוא בשבוע שלאחר חנוכה)

בהצלחה!