תרגיל 5

5.3.9

הבהרה לגבי חבורת קיילי ([math]\displaystyle{ K }[/math]) - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ S_4 }[/math]. אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך.

הבהרה נוספת: מכיוון ש [math]\displaystyle{ A_4\leq S_4 }[/math], אם תסתכלו על [math]\displaystyle{ K }[/math] כעל תת-חבורה של [math]\displaystyle{ S_4 }[/math] הדוגמה הנגדית שתמצאו תשאר להיות נכונה. לכן, בפועל על מנת לפתור את השאלה הזאת אין צורך לדעת מה זה [math]\displaystyle{ A_4 }[/math].

שאלה על ההבהרות: אבל בשאלה אנחנו קודם צריכים להראות שK תת חבורה נורמלית של A4, ולא רק של S4.. אנחנו יכולים להסתמך על כך שזה נכון או לא? תודה

5.3.13

היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של [math]\displaystyle{ G }[/math] שמוכלות ב [math]\displaystyle{ H }[/math]. זאת אומרת, לכל תת-חבורה [math]\displaystyle{ N }[/math] נורמלית של [math]\displaystyle{ G }[/math] שמוכלת ב [math]\displaystyle{ H }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ N\leq \cap_{g\in G} g^{-1}Hg }[/math]

שאלה: אתם יכולים לתת דוגמא לאיך האיברים בליבה ניראים? אם יש לנו נגיד [math]\displaystyle{ a,b,c\in G }[/math] אז זה חיתוך של קבוצה שנראית ככה: [math]\displaystyle{ ah_{1}a^{-1} , ah_{2}a^{-1}\dots }[/math] עם קבוצה שנראית ככה: [math]\displaystyle{ bh_1b^{-1} , bh_2b^{-1}\dots }[/math] וכו'.

תשובה: איבר היחידה הוא בליבה. מעבר לזה - אין צורך לדעת לצורך פתרון של השאלה. בסה"כ הבנת את ההגדרה נכון.

שאלה קטנה נוספת: אז לא צריך להוכיח שהיא תת חבורה? רק נורמליות ואז להראות מקסימליות?

תשובה לשאלה הקטנה: צריך. שים לב שההוכחה לוקחת בערך שורה.

5.3.11

הכוונה היא לחבורה שנוצרת על ידי הקבוצה [math]\displaystyle{ \{g^2:g\in G \} }[/math]. זאת אומרת אוסך כל המכפלות הסופיות מהצורה [math]\displaystyle{ a^2_{1}\dots a^2_{k}, a_i\in G }[/math]. אין צורך להוכיח זאת בתרגיל, אבל תבדקו עם עצמכם שאתם מבינים מדוע זו חבורה בכלל. עליכם להראות שחבורה זו נורמלית.

5.3.14

לשאלת התלמידים ששאלו איך לפתור את סעיף ג' - הרעיון הוא להשתמש בסעיף א. כיצד הראתם נורמליות של [math]\displaystyle{ G^{n-1} }[/math]?

שימו לב שמדובר ב-n נתון מראש. בנוסף - יש להראות ש [math]\displaystyle{ G^n }[/math] היא תת-חבורה של [math]\displaystyle{ G }[/math]. בסעיף א' ובכל שאר הסעיפים מדובר באותו n שמופיע בנתון.

5.4.10

אם אתם מתסבכים אם [math]\displaystyle{ U_{15} }[/math], ניתן לקחת חבורה אחרת. הצעה - קחו [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4 }[/math]. (שהיא איזומורפית ל [math]\displaystyle{ U_{15} }[/math] )