דוגמאות לחבורות מנה וחבורות נורמליות

מרכז של חבורה

הגדרה

לכל חבורה [math]\displaystyle{ G }[/math] מגדירים את המרכז שלה, [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] כאוסף כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר. דהיינו

[math]\displaystyle{ Z(G)=\{ g:\forall h\in G gh=hg \} }[/math].

משפט

[math]\displaystyle{ Z(G) }[/math] הוא תת-חבורה נורמלית של [math]\displaystyle{ G }[/math].

תרגיל

הוכח G אבלית [math]\displaystyle{ G/Z(G) \Leftrightarrow }[/math] ציקלית.

פתרון

[math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] ברור.

[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]. נניח ש [math]\displaystyle{ G/Z(G) }[/math] ציקלית. אזי, קיים [math]\displaystyle{ a \in G }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ Z/Z(G)=\lt aZ(G)\gt }[/math]. קוסטים מהווים חלוקה של [math]\displaystyle{ G }[/math] לכן מתקיים [math]\displaystyle{ G=\cap_{n\in\mathbb{Z} }a^{n}Z(G) }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ g,h\in G }[/math]. אזי קיימים [math]\displaystyle{ k,m }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ g\in a^{k}Z(G), h\in a^{m}Z(G) }[/math]. כלמר, [math]\displaystyle{ g=a^{k}z_1,h=z^{m}z_2,z_1,z_2\in Z(G) }[/math].

אזי מתקיים: [math]\displaystyle{ gh=a^{k}z_1a^{m}z_2=a^{m+k}z_1z_2=a^{m}a^{k}z_2z_1=a^{m}z_2a^{k}z_1=hg }[/math].