88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/תרגילים תיכון/בוחן שני לדוגמא

1

מצא ומיין נקודות אי רציפות של הפונקציות הבאות:

א

[math]\displaystyle{ sin\Big(\frac{1}{ln|x|}\Big) }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1+ln|x|} }[/math]

2

תהי [math]\displaystyle{ f(x)=x^2sin\Big(\frac{1}{x}\Big) }[/math]

א. האם f רציפה במ"ש בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]?

ב. האם 'f רציפה במ"ש בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]?

ג. הוכח/הפרך: אם g גזירה ורציפה במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] אזי נגזרתה 'g חסומה ב-[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

שאלה 3

תהי g פונקציה רציפה במ"ש בקטע (0,1). נניח שקיים אפסילון גדול מאפס כך שמתקיים [math]\displaystyle{ g(x)\gt \epsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in (0,1) }[/math]. הוכח שהפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{1}{g} }[/math] רציפה במ"ש בקטע (0,1).

שאלה 4

נניח כי f פונקציה רציפה ב- [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math], גזירה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]. בנוסף נתון כי [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] והנגזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math]מונוטונית עולה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].

א

הוכיחו כי [math]\displaystyle{ f'(x)\geq \frac{f(x)}{x} }[/math] ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].

ב

הוכיחו כי הפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=\frac{f(x)}{x} }[/math] מונוטונית עולה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].