88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח
שאלה 1
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה
ב. הוכח/הפרך: אם [math]\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{a_n}=L }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L }[/math]
פתרון
א. כיוון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה [math]\displaystyle{ n_1 }[/math]כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L-1\lt a_n\lt L+1 }[/math]. סה"כ:
- [math]\displaystyle{ \forall n:\min\{a_1,...,a_{n_1},L-1\}\lt a_n\lt \max\{a_1,...,a_{n_1},L+1\} }[/math]
ב. הפרכה: ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה [math]\displaystyle{ n }[/math], ובמקומות האי-זוגיים [math]\displaystyle{ n^2 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,... }[/math]
קל לראות כי [math]\displaystyle{ \lim\sqrt[n]{a_n}=1 }[/math], אבל לא קיים הגבול [math]\displaystyle{ \lim\frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math]
הפרכה נוספת: ניקח את הסדרה הבאה
- [math]\displaystyle{ a_n=1,3,1,3,1,3,... }[/math]
מתקיים
- [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{3},3,\frac{1}{3},3,\frac{1}{3},3,... }[/math]
ולכן לא מתכנס. אבל [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{3}\rightarrow 1 }[/math] וכמובן גם [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{1}\rightarrow 1 }[/math] ולכן סה"כ [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}\rightarrow 1 }[/math]
שאלה 2
נניח כי f פונקציה רציפה ב- [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math], גזירה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]. בנוסף נתון כי [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] והנגזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math]מונוטונית עולה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].
א. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ f'(x)\geq \frac{f(x)}{x} }[/math] ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].
ב. הוכיחו כי הפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=\frac{f(x)}{x} }[/math] מונוטונית עולה ב- [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math].
פתרון
א. יהי [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math]. נפעיל את משפט לגראנג' על הפונקציה f בקטע [math]\displaystyle{ [0,x] }[/math]. לכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt x }[/math] כך ש:
- [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x} }[/math]
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
- [math]\displaystyle{ f'(x)\geq f'(c) = \frac{f(x)}{x} }[/math]
כפי שרצינו.
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
- [math]\displaystyle{ g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2} }[/math]
כיוון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
- [math]\displaystyle{ xf'(x)-f(x)\geq x\frac{f(x)}{x}-f(x)=0 }[/math]
שאלה 3
קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:
א. [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+...+2012^n} }[/math]
ב. [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math], ו- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=sin(a_n) }[/math]
ג. [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}(sin\sqrt{x-a}-sin\sqrt{x}) }[/math]
ד. [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 1}\Big(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\Big) }[/math]
פתרון
א.
נפעיל את משפט הסנדביץ':
- [math]\displaystyle{ 2012=\sqrt[n]{2012^n}\leq \sqrt[n]{1^n+2^n+...+2012^n}\leq \sqrt[n]{2012^n+2012^n+...+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot 2012^n}\rightarrow 2012 }[/math]
ב.
ידוע כי עבור ערכים חיוביים [math]\displaystyle{ sin(x)\lt x }[/math] ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על ידי אפס, ולכן מתכנס.
[math]\displaystyle{ L=sin(L) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ L=0 }[/math].
אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה [math]\displaystyle{ x-sin(x)=0 }[/math] הקטן מאחד, אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין אפס לאחד (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.
ג.
כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנג' כי [math]\displaystyle{ |sin(x)-sin(y)|\leq |x-y| }[/math] לכן,
- [math]\displaystyle{ |sin\sqrt{x-a}-sin\sqrt{x}|\leq |\sqrt{x-a}-\sqrt{x}|=|\frac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}|\rightarrow 0 }[/math]
ד.
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}=\frac{lnx-x+1}{(x-1)lnx} }[/math]
נגזור את המונה ואת המכנה לקבל:
- [math]\displaystyle{ \frac{\frac{1}{x}-1}{lnx+\frac{x-1}{x}}=\frac{1-x}{xlnx+x-1} }[/math]
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבל:
- [math]\displaystyle{ \frac{-1}{lnx + 1 +1}\rightarrow -\frac{1}{2} }[/math]
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.
שאלה 4
תהי [math]\displaystyle{ f(x)=x^2sin\Big(\frac{1}{x}\Big) }[/math]
א. האם f רציפה במ"ש בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]?
ב. האם 'f רציפה במ"ש בתחום [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]?
ג. הוכח/הפרך: אם g גזירה ורציפה במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math] אזי נגזרתה 'g חסומה ב-[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]
פתרון
א.
נבחן את הנגזרת בקטע:
[math]\displaystyle{ f'(x)=2xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)-cos\Big(\frac{1}{x}\Big) }[/math]. כיוון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math].
כמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס).
בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה f רציפה במ"ש בקטע.
ב.
ניקח את שתי הסדרות [math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{2\pi n} }[/math], ו-[math]\displaystyle{ y_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n} }[/math]. קל לוודא כי:
- [math]\displaystyle{ |x_n-y_n|\rightarrow 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |f'(x_n)-f'(y_n)|\rightarrow 1 }[/math]
ולכן 'f אינה רציפה במ"ש בקטע.
ג.
הפרכה:
[math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x} }[/math] רציפה במ"ש בקטע כיוון שבאפס יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math] אינה חסומה בסביבת אפס.
הפרכה נוספת:
[math]\displaystyle{ xsin\Big(\frac{1}{x}\Big) }[/math] בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.
שאלה 5
עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:
א. [math]\displaystyle{ \sum (-1)^nsin(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) }[/math]
ב. [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{n+1}{n^{\sqrt{n}}} }[/math]
ג. [math]\displaystyle{ \sum\frac{cos^2\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)}{n} }[/math]
ד. [math]\displaystyle{ \sum\frac{n^n}{(n!)^2} }[/math]
פתרון
א.
[math]\displaystyle{ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} }[/math]
לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים
- [math]\displaystyle{ \sum sin(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) }[/math], ו-[math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{\sqrt{n}} }[/math]
חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט.
כיוון שסינוס רציפה, מונוטונית באיזור אפס, ושואפת לאפס באפס, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.
ב.
ברור שהחל מ-[math]\displaystyle{ n=9 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt{n}\geq 3 }[/math] ולכן
- [math]\displaystyle{ \sum\frac{n+1}{n^{\sqrt{n}}}\leq \frac{n+1}{n^3}= \sum \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3} }[/math]
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
ג.
בכל מקום זוגי [math]\displaystyle{ cos^2\Big(\frac{n\pi}{2}\Big)=1 }[/math]ובכל מקום אי זוגי זה שווה אפס לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר
- [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{2n} }[/math]
ד.
נפעיל את מבחן המנה לקבל:
- [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n ((n+1)!)^2}=\Big(\frac{n+1}{n}\Big)^n\cdot \frac{1}{n+1}\rightarrow e\cdot 0 =0 }[/math]
ולכן הטור מתכנס בהחלט.