משתמש:איתמר שטיין
סעיף ב
- חלק א':
נשים לב שהטור
[math]\displaystyle{ \sum_{i=2}^{\infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)} }[/math]
הוא טור חיובי ולכן הוא מתכנס בהחלט אם ורק אם הוא מתכנס
נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים:
נביט על הסדרה:
[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}}={(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)} }[/math]
נחשב את הגבול
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}=\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n+1} \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{-2} =\lim_{n\rightarrow \infty}{(1-\frac{2}{n+1})}^{n+1} \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n+1}{n-1})}^2 =e^{-2} \lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{2}{n-1})}^2 =e^{-2} \lt 1 }[/math]
(שימו לב ש
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{x}{a_n})}^{a_n}=e^x }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty }[/math] )
ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס