פולינום טיילור

כיוון שכפל וחיבור הן פעולות שקל לחשבן, פולינומים הן פונקציות שקל לחשבן את ערכן בכל נקודה. לכן, בהנתן פונקציה כללית f, היינו שמחים למצוא פולינום קרוב אליה. כלומר, היינו רוצים למצוא פולינום p כך שהשארית

[math]\displaystyle{ R(x)=f(x)-p(x) }[/math]

תהא "מינימלית". שימו לב כי הגדרת המינמליות תלוייה בצורך. לדוגמא ייתכן ונרצה כי השארית תהא חסומה על כל הממשיים או תשאף לאפס בנקודה מסויימת.

פולינום טיילור

פולינום טיילור סביב נקודה a מדרגה n הינו פולינום מהצורה:

[math]\displaystyle{ P_n(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ f^{(n)} }[/math] היא הנגזרת ה-n של f

שימו לב שבאופן ברור מההגדרה קיום פולינום טיילור מדרגה n דורש שהפונקציה תהא גזירה לפחות n פעמים בנקודה a. אנחנו נראה מיד שעל מנת להעריך את השגיאה של הפולינום נדרוש כי הפונקציה תהא גזירה לפחות n+1 פעמים באיזור הנקודה a.

פולינום טיילור משמש לקירוב פונקציות מסיבות שנראה בהמשך (טור חזקות), ובזכות משפט טיילור עם שארית לגראנז'