משתמש:איתמר שטיין
שאלה 4
סעיף א
המשוואות המדוברות דיפרנציאביליות ברציפות והגרדיאנט של התנאי הוא:
[math]\displaystyle{ \nabla g = (\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2}) }[/math]
שהוא לא מתאפס בנקודות שמקיימות את התנאי.
לכן אפשר להשתמש בכופלי לגרנז ללא חשש.
שימוש בכופלי לגרנז מוביל אל המשוואות הבאות:
[math]\displaystyle{ 2x+\lambda \frac{2x}{a^2}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2y+\lambda \frac{2y}{b^2}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 2z+\lambda \frac{2z}{c^2}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math]
אם נסתכל על שלושת המשוואות הראשונות, נקבל מערכת משוואות לינארית
[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2+\frac{2 \lambda}{a^2} & 0 & 0 \\ 0 & 2+\frac{2 \lambda}{b^2} & 0 \\ 0 & 0 & 2+\frac{2 \lambda}{c^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} }[/math]
אם המטריצה הפיכה, אז הפתרון היחיד הוא
[math]\displaystyle{ x=0,\quad y=0, \quad z=0 }[/math]
וזה לא יקיים את האילוץ
לכן בהכרח המטריצה לא הפיכה, כלומר
[math]\displaystyle{ \lambda \in \{-a^2,-b^2,-c^2\} }[/math]
בגלל ש [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math] מספרים שונים אלה שלוש אפשרויות שונות.
אם [math]\displaystyle{ \lambda = -a^2 }[/math] נקבל שבהכרח [math]\displaystyle{ y=z=0 }[/math] ולפי האילוץ
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}=1 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ x=\pm a }[/math].
בדומה שתי האפשרויות האחרות הן:
[math]\displaystyle{ x=0 ,\quad y=\pm b ,z=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=0 ,\quad y=0 ,\quad z=\pm c }[/math]
כעת נותר להחליט אם אלה אקסטרימלים (נקודות קיצון).
אפשר להפעיל שיקול כזה: היות ו [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה על קבוצה סגורה וחסומה, יש לה נקודות מינמום ומקסימום גלובאליות (שהן בפרט מקומיות). ידוע שנקודות הקיצון המקומיות הן פתרונות של משוואות לגרנז'.
לכן שניים מהפתרונות חייבים להיות מינימום ומקסימום גלובאליים.
היות ו [math]\displaystyle{ a\gt b\gt c\gt 0 }[/math] ברור ש
[math]\displaystyle{ (\pm a ,0,0) }[/math] הן מקסימום גלובאלי.
ו [math]\displaystyle{ (0,0,\pm c) }[/math] הוא מינימום גלובאלי.
כעת נותר להחליט האם [math]\displaystyle{ (0,\pm b,0) }[/math] היא גם נקודת קיצון.
אפשר להפעיל שיקול כזה:
אם נסתכל על ההטלה על המישור [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] נקבל חישוב של [math]\displaystyle{ x^2+y^2 }[/math] תחת האילוץ [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} }[/math]
במצב כזה, [math]\displaystyle{ (0,\pm b) }[/math] היא נקודת מינימום.
אם נסתכל על ההטלה למישור [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] נקבל ש [math]\displaystyle{ (\pm b,0) }[/math] היא נקודת מקסימום.
ולכן [math]\displaystyle{ (0,\pm b,0) }[/math] היא לא נקודת קיצון.
לסיכום נקודות הקיצון הן:
נקודות מקסימום [math]\displaystyle{ (a,0,0) \quad (-a,0,0) }[/math]
נקודות מינימום: [math]\displaystyle{ (0,0,c) \quad (0,0,-c) }[/math]