תקציר שימושי מחשב, סמסטר ב תשעג, גיא בלשר

חזרה לדף המשתמש

תאריך עדכון אחרון: 19 ביוני 2013

תוכנה 1: MATLAB

הערה: ב־MATLAB בסוף כך שורת הוראה יש להוסיף ; על מנת שלא תתבצע הדפסה, אך אם רוצים הדפסה אין להוסיף ; בסוף השורה.

עבודה בסיסית ב־MATLAB

משתנים

משתנה הוא סמל המסמן כמות, איבר של קבוצה, או ערך לוגי, העשויים להשתנות (מתוך ויקיפדיה).

השמה למשתנה - הכנסת ערך אליו. ב־MATLAB (דוגמות):
x=3
z=pi
w=4+5*i

פעולות בסיסיות עם משתנים (a,b מציינים מספרים):

הפעולה	הסימן ב־MATLAB
חיבור	a+b
חיסור	a-b
כפל	a*b
חילוק	/
חזקה	a^b
לוגריתם טבעי (ln)	(log(a
שורש ריבועי	(sqrt(a
ערך שלם / רצפה	(floor(a
שארית חלוקה (רק עבור שלמים)	(mod(a,b

להוספת הערה בסוף שורה כותבים את הסימן % ולאחריו את ההערה.

בחילוק שני מספרים שלמים, המנה היא (floor(x,y והשארית היא (mod(x,y.

משתנים קבועים: i,j - ה־i המרוכב, [math]\displaystyle{ \sqrt{-1} }[/math], pi - פאי.

הדפסת ערך משתנה:
(disp(value

מטריצות

פעולות בסיסיות עם משתנים (A,B מציינים מטריצות):

הפעולה	ההוראה ב־MATLAB
הגדרת מטריצת אפסים בגודל [math]\displaystyle{ m\times n }[/math]	(A=zeros(m,n
איבר בשורה x ובעמודה y	(A(x,y
חיבור מטריצות	A+B
חיסור מטריצות	A-B
כפל במובן מטריצות	A*B
כפל איבר־איבר	A.*B
חילוק (כפל בהופכית)	A/B
חילוק איבר־איבר	A./B
מימדי מטריצה (וקטור)	(size(A
שחלוף (transpose)	'A

ועוד...

הערה 1: האינדקסים במטריצה מתחילים מ־1.

הערה 2: אם נעשתה פנייה לאיבר שאינו במערך והושם בו ערך, MATLAB ירחיב באופן אוטומטי את המערך, ובמקומות שנוספו יושמו אפסים.

מערכים: מטריצה מגודל nx1

פעולות בסיסיות עם מערכים (v מייצג וקטור, m,n,p מייצגים מספר כלשהו):

הפעולה	ההוראה ב־MATLAB
אתחול (הצבת אפסים)	(v=zeros(n,1
האיבר ה־n-י	(v(n
אורך הוקטור	(length(v
וקטור המכיל את המספרים הטבעיים עד n	v=1:n
וקטור המכיל את כל המספרים מ־m עד n בקפיצות p	v=m:p:n

דוגמה: בכתיבה 1:5 יווצר הווקטור [5 4 3 2 1]. בכתיבה 1:2:5 יווצר הוקטור [5 3 1].

ניתן להגדיר וקטור גם באופן הבא: [w=[3 9 10 11 4 (במקום רווחים ניתן להשתמש בפסיקים). על מנת להגדיר מטריצה באופן דומה מוסיפים ; כדי לרדת שורה.

ניתן לקבל וקטור מאינדקסים מסוימים. למשל, עבור w שהוגדר,
[w(1:2:5)=w([1 3 5])=[3 10 4

פעולות בוליאניות

פעולות בוליאניות מחזירות 0 (שקר) או 1 (אמת). דוגמות (a,b מספרים):

הפעולה	הסימון ב־MATLAB
האם שני ערכים שווים	a==b
קטן	ab
קטן שווה	a<=b
גדול שווה	a>=b
אינו שווה	=~

&& - וגם, || - או

תנאים

תנאי פשוט:

(תנאי) if 

הוראות לביצוע

end

תנאי מורכב:

(תנאי) if

(הוראות לביצוע)

else

(הוראות לביצוע)

end

תנאי יותר מורכב:

(תנאי) if

(הוראות לביצוע)

elseif

(הוראות לביצוע)

else

(הוראות לביצוע)

end

לולאת for

לולאת for - ביצוע אותו רצף הוראות מספר ידוע מראש של פעמים.

תכנות:

(וקטור המכיל את ערכי i הדרושים)=for i

(הוראות לביצוע)

end

הערה: אמנם i הוא קבוע, אך ניתן להציב בו ערך. על מנת להחזירו להיות ה־i המרוכב, נכתוב את ההוראה clear i.

לולאת while

לולאת while - ביצוע אותו רצף הוראות מספר שאינו ידוע מראש של פעמים אך עם תנאי לעצירה.

תכנות:

(תנאי לעצירה, תנאי בוליאני) while

(הוראות לביצוע)

end

תרגילים

תרגיל 1 - עצרת

חשבו את [math]\displaystyle{ 1000! }[/math].

פתרון 1 - לולאת for:

;n=1
for i=2:1000
;n=n*i
end
;(disp(n

פתרון 2 - לולאת while:

;n=1
;i=1
while i<=1000
;n=n*i
;i=i+1
end
;(disp(n

תרגיל 2 - מספרים ראשוניים

צרו וקטור המכיל את כל המספרים הראשוניים מ־1 עד 1000

;כמה ראשוניים מצאנו % found=0
;וקטור עם המספרים הראשוניים % []=primes
for p=1:1000
   ;yesno=1
   ;k=2
   while k<=sqrt(p) && yesno==1
      if mod(p,k)==0
         ;yesno=0
      end
      ;k=k+1
   end
   if yesno==1
      ;found=found+1
      ;primes(found)=p
   end
end

תרגיל 3 - פירוק מספר שלם לגורמים ראשוניים

פרקו מספר שלם [math]\displaystyle{ k\leq 1000 }[/math] לגורמים ראשוניים (אפשר להשתמש בוקטור primes מהתרגיל הקודם).

;k=252
while k>1
    ;i=2
   while mod(k,primes(i))!~=0
      ;i=i+1
   end
   ;((disp(primes(i
   ;(k=k/primes(i
end

יישומים מתמטיים

מחלק משותף גדול ביותר gcd

עבור [math]\displaystyle{ m,n }[/math] שלמים, המספר השלם הגדול ביותר המחלק גם את [math]\displaystyle{ m }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ n }[/math] ייקרא המחלק המשותף הגדול ביותר ויסומן [math]\displaystyle{ gcd(m,n) }[/math].

;m=12
;n=30
if n<m
   ;t=m
   ;m=n
   ;n=t
end
for i=1:m
   if mod(m,i)==0 && mod(n,i)=0
      ;gcd=i
   end
end
;(disp(gcd

קבלת מינימום

ישנן שלוש דרכים לקבל את המספר המינימלי מבין [math]\displaystyle{ m,n }[/math].

דרך ראשונה - ([min([m,n

דרך שנייה - תנאי

דרך שלישית - [math]\displaystyle{ min=\frac{m+n}{2}-\frac{m-n}{2} }[/math]

אלגוריתם אוקלידס

אלגוריתם אוקלידס נועד למציאת מחלק משותף מקסימלי בין שני מספרים שלמים [math]\displaystyle{ m,n }[/math].

האלגוריתם

נניח [math]\displaystyle{ m\lt n }[/math]. נגדיר: [math]\displaystyle{ r_0=n }[/math]
[math]\displaystyle{ r_1=m }[/math]
[math]\displaystyle{ r_0=q_1 r_1+r_2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 1\leq q_1 \leq r_0 }[/math], [math]\displaystyle{ 0\leq r_2 \lt r_1 }[/math]
ובאינדוקציה [math]\displaystyle{ r_k=q_{k+1} r_{k+1}+r_{k+2} }[/math]
עד שנגיע ל־[math]\displaystyle{ r_N=0 }[/math].
בהכרח נעצור כי [math]\displaystyle{ r_{k+1}\lt r_k }[/math].

לפי אלגוריתם זה, ה־gcd הינו [math]\displaystyle{ r_{N-1} }[/math].

דוגמה

נבחר [math]\displaystyle{ r_0=30, r_1=12 }[/math].
[math]\displaystyle{ 30=2\cdot 12+\underset{r_2}{\underbrace{6}} }[/math]
[math]\displaystyle{ 12=2\cdot 6+\underset{r_3}{\underbrace{0}} }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ gcd(30,12)=6 }[/math]

הוכחת האלגוריתם

[math]\displaystyle{ r_{N-2}=q_{N-1} r_{N-1}+r_N=q_{N-1} r_{N-1} }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_{N-2} }[/math].

[math]\displaystyle{ r_{N-3}=q_{N-2} r_{N-2}+r_{N-1} }[/math].
[math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_{N-2} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_{N-1} }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math][math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_{N-3} }[/math]

[math]\displaystyle{ r_{N-4}=q_{N-3} r_{N-3}+r_{N-2} }[/math].
[math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_{N-2} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_{N-3} }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math][math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_{N-4} }[/math]
<BR

באינדוקציה, נקבל [math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ r_{N-1}|r_0 }[/math].

מדוע [math]\displaystyle{ r_{N-1} }[/math] הוא המחלק המשותף הגדול ביותר? נניח [math]\displaystyle{ r_k=gcd(m,n) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ r_{k-1}=q_{k} r_{k}+0 }[/math].

בהכרח נגיע למחלק המשותף המקסימלי מפני שבשלב ה־k־י, [math]\displaystyle{ r_{k-1}|gcd(m,n) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ r_k|gcd(m,n) }[/math], לכן [math]\displaystyle{ r_{k+1}|gcd(m,n) }[/math].

תכנות

;m=12
;n=30
if n<m
   ;r1=n
   ;r0=m
else
   ;r1=m
   ;r0=n
end
while r1>0
   ;(r2=mod(r0,r1
   ;r0=r1
   ;r1=r2
end
;gcd=r0

דוגמה

עבור [math]\displaystyle{ m=169, n=1482 }[/math]

[math]\displaystyle{ r_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ r_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ r_0 }[/math]
	169	1482
130	130	169
39	39	130
13	13	39
0	0	13

gcd(169,1482)=13

עבור [math]\displaystyle{ m=441, n=42 }[/math]

[math]\displaystyle{ r_2 }[/math]	[math]\displaystyle{ r_1 }[/math]	[math]\displaystyle{ r_0 }[/math]
	42	441
21	21	42
0	0	21

gcd(42,441)=21

פתרון מערכת משוואות - ניוטון-רפסון

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה, צריך למצוא [math]\displaystyle{ x }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math].

האלגוריתם והוכחתו

נתחיל מנקודה כלשהי, ובכל פעם נעביר דרכה משיק ונקבל נקודה חדשה - ששיעור ה־x שלה זהה לשיעור ה־x של החיתוך עם ציר x של המשיק. המחשת האלגוריתם

נתון [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. נחשב את משוואת הישר [math]\displaystyle{ y=ax+b }[/math], [math]\displaystyle{ a=f'(x_0) }[/math], עובר בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,f(x_0)) }[/math] (משוואת המשיק):
[math]\displaystyle{ f(x_0)=f'(x_0)x_0+b }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ b=f(x_0)-x_0 f'(x_0) }[/math]

כלומר, הישר המשיק ל־[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הינו [math]\displaystyle{ y=f'(x_0)x+f(x_0)-x_0 f(x_0) }[/math]. נמצא את [math]\displaystyle{ x_1 }[/math]. חיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math]:
[math]\displaystyle{ x_1=-\frac{f(x_0)-f'(x_0)x_0}{f'(x_0)}=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} }[/math].

לכן, [math]\displaystyle{ x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} }[/math]. נמשיך באיטרציות עד ש־[math]\displaystyle{ |x_k-x_{k-1}|\lt \Delta=10^{-12} }[/math]

טענה: [math]\displaystyle{ |x_{k+1}-\tilde{x}|\leq c|x_k-\tilde{x}|^2 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ c\ge 0 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \tilde{x} }[/math] הינו השורש האמיתי.

תכנות

נתונה פונקציה f ופונקציה 'g=f. השגיאה הרצויה delta.

;x0=1
;x1=x0+2*delta
while abs(x0-x1)>delta
   ;(x1=x0-f(x0)/g(x0
   ;t=x1
   ;x1=x0
   ;x0=t
end