חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג

שאלה 2

סעיף א

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ t=e^x }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \mathrm{d}t=e^x\mathrm{d}x=t\mathrm{d}x }[/math]

לאחר הצבה נקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{t+\frac{1}{t}}\frac{1}{t}\mathrm{d}t }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int\frac{1}{t^2+1}=\arctan t+c=\arctan e^x+c }[/math]

סעיף ב

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^3+1}{x^3-1} }[/math]

על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש

[math]\displaystyle{ \frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1} }[/math]

אז נתמקד בחישוב [math]\displaystyle{ \int\frac{2}{x^3-1}=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)} }[/math]