שאלה 2

סעיף א

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ t=e^x }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \mathrm{d}t=e^x\mathrm{d}x=t\mathrm{d}x }[/math]

לאחר הצבה נקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{e^x+e^{-x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1}{t+\frac{1}{t}}\frac{1}{t}\mathrm{d}t }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int\frac{1}{t^2+1}=\arctan t+c=\arctan e^x+c }[/math]

סעיף ב

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^3+1}{x^3-1}\mathrm{d}x }[/math]

על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש

[math]\displaystyle{ \frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac{2}{x^3-1} }[/math]

אז נתמקד בחישוב [math]\displaystyle{ \int\frac{2}{x^3-1}\mathrm{d}x=\int\frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}\mathrm{d}x }[/math]

לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש

[math]\displaystyle{ \frac{2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+x+1)} }[/math]

כלומר קיבלנו מערכת משוואות

[math]\displaystyle{ A+B=0, \quad A-B+C=0,\quad A-C=2 }[/math]

וקל לראות שהפתרון שלה הוא:

[math]\displaystyle{ A=\frac{2}{3},\quad B=-\frac{2}{3},\quad C= -\frac{4}{3} }[/math]

ברור ש

[math]\displaystyle{ \int\frac{\frac{2}{3}}{x-1}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\ln|x-1|+c }[/math]

נותר לחשב את [math]\displaystyle{ -\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x }[/math]

לפי השלמה לריבוע

[math]\displaystyle{ \int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=\int\frac{x+2}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x }[/math]

נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x+\frac{1}{2} }[/math] (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם

[math]\displaystyle{ \int\frac{t+\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\frac{2t+3}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2}\int\frac{2t}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t+\int\frac{\frac{3}{2}}{t^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}t }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2}\ln|t^2+\frac{3}{4}|+\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+c }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ -\frac{2}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}\mathrm{d}x=-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c }[/math]

אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא

[math]\displaystyle{ x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\ln|(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}|+\sqrt{3}\arctan\frac{x+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}})+c }[/math]

ואם מסדרים את זה יוצא

[math]\displaystyle{ x+\frac{2}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{3}\ln|x^2+x+1|-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}+c }[/math]

שאלה 3

סעיף א

צריך לבדוק אם [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \sin\sqrt{x}dx }[/math] מתכנס או מתבדר.

הצעה לפתרון: ננסה לחשב את [math]\displaystyle{ \lim_{b\to\infty} \int_1^b \sin \sqrt{x} dx }[/math]. נסתכל על [math]\displaystyle{ \int \sin\sqrt x dx }[/math]. ע"י החלפת משתנים נקבל [math]\displaystyle{ \sqrt{x}=t \Rightarrow \frac1{2\sqrt x} dx = dt \Rightarrow dx=2tdt }[/math]

קיבלנו [math]\displaystyle{ \int 2t\sin t dt }[/math]. ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים ([math]\displaystyle{ u=2t, v'=\sin t }[/math]) כי האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ 2\sin(t)- 2t\cos t + C }[/math] ולכן מתקיים:

[math]\displaystyle{ \lim_{b\to\infty} \int_1^\infty \sin\sqrt x dx = \lim_{b\to\infty} (2\sin\sqrt b - 2\sqrt{b}\cos\sqrt{b})-(2\sin1-2\cos1) }[/math] וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר

שאלה 4

הפרכה: ניקח את [math]\displaystyle{ f_n(x)=\begin{Bmatrix} \frac 1n ,\ \ x=0\\ 0,\ \ \ \ \mathrm{else} \end{Bmatrix} }[/math]. נראה כי [math]\displaystyle{ f(x)\equiv 0 }[/math] וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).

עוד פונקציה שמפריכה היא [math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{D(x)}{n} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ D(x) }[/math] היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת, [math]\displaystyle{ D(x)=\begin{Bmatrix}\ 1 ,\ \ x \in \mathbb{Q}\\ 0,\ \ \ \ \mathrm{else} \end{Bmatrix} }[/math]

שאלה 6

נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] היא [math]\displaystyle{ \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx }[/math] ולכן אנחנו מחפשים את [math]\displaystyle{ \int_0^{\frac{\pi}6}\sqrt{1+((\ln\cos(x))')^2}dx }[/math].

מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\ln\cos(x) = \frac{-\sin(x)}{cos(x)}=-\tan(x) }[/math].

כמו כן, [math]\displaystyle{ 1+(-\tan(x))^2=1+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac1{\cos^2(x)} }[/math].

נראה כי [math]\displaystyle{ \forall x \in [0,\frac{\pi}6] :\cos(x)\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\frac1{\cos(x)} }[/math] ולא צריך לדאוג לגבי הסימן המכנה.

נרצה לחשב כעת את [math]\displaystyle{ \int_0^{\frac{\pi}6} \frac{1}{\cos(x)} dx }[/math]