איבר יחידה

במבנה אלגברי [math]\displaystyle{ (X,\cdot) }[/math], איבר [math]\displaystyle{ e\in X }[/math] ייקרא נטרלי משמאל אם לכל איבר [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] יתקיים: [math]\displaystyle{ e\cdot x = x }[/math]. באופן דומה, איבר [math]\displaystyle{ e\in X }[/math] ייקרא נטרלי מימין אם לכל איבר [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] יתקיים: [math]\displaystyle{ x\cdot e = x }[/math].

איבר ייקרא איבר נטרלי או איבר יחידה אם נטרלי משמאל ומימין.

משפט: אם קיים נטרלי משמאל ונטרלי מימין, הם שווים (אין מצב שיש נטרלי אחד משמאל, נטרלי אחד מימין, והם שונים זה מזה). יש להדגיש שיכול להיות מצב שבו יש נטרלי רק מצד אחד או אפילו כמה נטרליים מצד אחד, אך אם יש נטרלי בכל צד, הם בהכרח שווים.

מסקנה מהמשפט: אם קיים איבר נטרלי, הוא יחיד.

דוגמאות

1. ב- [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},+) }[/math], קיים איבר נטרלי והוא 0 כיוון שלכל [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a+0=a }[/math] וגם [math]\displaystyle{ 0+a=a }[/math]

2. ב- [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\cdot) }[/math], 1 הוא האיבר הנטרלי

3. ב- [math]\displaystyle{ (P(X),\cup) }[/math] הנטרלי הוא [math]\displaystyle{ \phi }[/math] כיוון שלכל [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math] מתקיים ש- [math]\displaystyle{ A \cup \phi = \phi \cup A = A }[/math]

4. נגדיר את X להיות קבוצת כל המטריצות הממשיות מהצורה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x &y \\ 0 &0 \end{pmatrix} }[/math] וניקח את כפל המטריצות להיות הפעולה של המבנה האלגברי. נראה כי [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0 &0 \end{pmatrix} }[/math] נטרלי משמאל (יש עוד) ואין אף נטרלי מימין ב-X