88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן

משפט קנטור על רציפות במ"ש

המשפט

תהי [math]\displaystyle{ f:K \to \mathbb{R}^m }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ K \subseteq \mathbb{R}^n }[/math] קבוצה קומפקטית ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ K }[/math], אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)

הוכחה

נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-

[math]\displaystyle{ \exists \epsilon\gt 0 \forall \delta\gt 0 \exists x',x'' : ||x'-x''||\lt \delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon }[/math].

זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: [math]\displaystyle{ \delta_k=\frac1k }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ \delta_k }[/math] נסמן את [math]\displaystyle{ x',x'' }[/math] בהתאם: [math]\displaystyle{ x'_k,x''_k }[/math].

לכן לכל k מתקיים: [math]\displaystyle{ ||x'_k-x''_k||\lt \frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon\gt 0 }[/math]

כיוון שכל הנקודות [math]\displaystyle{ x'_k }[/math] ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ \left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0 }[/math] שמתכנסת לנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).

נשים לב ש- [math]\displaystyle{ x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0 }[/math]. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) }[/math] אך אם כך, [math]\displaystyle{ \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0 }[/math] בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- [math]\displaystyle{ |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon }[/math]. משל