88-230 אינפי 3 סמסטר א תשעד הוכחות למשפטים למבחן
משפט קנטור על רציפות במ"ש
המשפט
תהי [math]\displaystyle{ f:K \to \mathbb{R}^m }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ K \subseteq \mathbb{R}^n }[/math] קבוצה קומפקטית ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ K }[/math], אזי f רציפה במ"ש ב-K. (הרצאה 6)
הוכחה
נניח בשלילה ש-f לא רבמ"ש ב-K. אז מתקיים ש-
[math]\displaystyle{ \exists \epsilon\gt 0 \forall \delta\gt 0 \exists x',x'' : ||x'-x''||\lt \delta \land |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon }[/math].
זה מתקיים לכל דלתא, אז נגדיר סדרה של דלתות באופן הבא: [math]\displaystyle{ \delta_k=\frac1k }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ \delta_k }[/math] נסמן את [math]\displaystyle{ x',x'' }[/math] בהתאם: [math]\displaystyle{ x'_k,x''_k }[/math].
לכן לכל k מתקיים: [math]\displaystyle{ ||x'_k-x''_k||\lt \frac1k, |||f(x'_k)-f(x''_k)|||\geq\epsilon\gt 0 }[/math]
כיוון שכל הנקודות [math]\displaystyle{ x'_k }[/math] ב-K, שהיא קבוצה קומפקטית, מתקיימת למת בולצאנו ווירשטראס. כלומר קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ \left\{ x_{k_i} \right\}_{i=1}^\infty \to x_0 }[/math] שמתכנסת לנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] שגם היא ב-K (כיוון ש-K סגורה).
נשים לב ש- [math]\displaystyle{ x''_{k_i}=x'_{k_i}+(x''_{k_i}-x'_{k_i}) \to x_0 + 0 = x_0 }[/math]. מתוך הנתון ש- f רציפה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקבל ש- [math]\displaystyle{ f(x'_{k_i}) \to f(x_0) , f(x''_{k_i}) \to f(x_0) }[/math] אך אם כך, [math]\displaystyle{ \lim_{i\to\infty} (f(x'_{k_i})-f(x''_{k_i}))=f(x_0)-f(x_0)=0 }[/math] בסתירה לכך שקיים אפסילון כך ש- [math]\displaystyle{ |||f(x')-f(x'')|||\geq \epsilon }[/math]. משל
היחס בין הדיפרנציאל לנגזרות החלקיות
צריך לדעת את 3 הדברים שבחלק זה (המשפטים בהרצאה 7 והדוגמה לקוחה מהתרגול)
משפט 1
תהי [math]\displaystyle{ f:\Omega\to\mathbb{R}^m }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \Omega \subseteq \mathbb{R}^n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ a \in \operatorname{int} \Omega }[/math] כך ש- f דיפ' ב-a. אזי לכל [math]\displaystyle{ 1\leq j \leq n }[/math] קיימת נגזרת חלקית [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) }[/math] והיא שווה ל- [math]\displaystyle{ df_a (e_j) }[/math]
(הערה: משפט זה הוא מקרה פרטי למשפט שהוכחנו בהמשך באופן דומה. המשפט אומר ש- [math]\displaystyle{ \partial_h f (a)=df_a (h) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \partial_h f(a) := \lim_{t\to 0} \frac{f(a+th)-f(a)}{t} }[/math] זוהי הנגזרת הכיוונית לפי וקטור h.)
הוכחה 1
[math]\displaystyle{ f(a+h)=f(a)+df_a(h)+\epsilon(h)||h|| }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0 }[/math].
לכן,
[math]\displaystyle{ f(a+t\cdot e_j)-f(a)=df_a(t\cdot e_j)+\epsilon (t\cdot e_j)\cdot |t|\cdot ||e_j|| }[/math]
כיוון ש- [math]\displaystyle{ ||e_j||=1 }[/math] והדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי, מקבלים ש-
[math]\displaystyle{ \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t}=df_a(e_j)+\frac{|t|}{t}\epsilon(t\cdot e_j) }[/math]
נשים לב שהגורם האחרון שואף ל-0 כש- t שואף ל-0, ולכן נקבל:
[math]\displaystyle{ \lim_{t\to 0} \frac{f(a+t\cdot e_j)-f(a)}{t} = df_a(e_j) }[/math] אך אגף שמאל, עפ"י הגדרה, זה [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_j} (a) }[/math] וקיבלנו את מה שרצינו.
משפט 2
תהי [math]\displaystyle{ f:\Omega\to\mathbb{R}^m }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \Omega \subseteq \mathbb{R}^n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ a \in \operatorname{int} \Omega }[/math] כך ש- f דיפ' ב-a, אזי מתקיים:
[math]\displaystyle{ \forall h \in \mathbb{R}^n :df_a(h)= \sum_{j=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_j} (a) \cdot h_j) }[/math]
הוכחה 2
יהי [math]\displaystyle{ h\in \mathbb{R}^n }[/math] אז [math]\displaystyle{ h=(h_1,h_2,...,h_n)=h_1\vec{e_1}+...+h_n\vec{e_n}=\sum_{j=1}^n h_j\vec{e_j} }[/math]. מתוך העובדה שהדיפרנציאל הוא אופרטור לינארי וממשפט 1,
[math]\displaystyle{ df_a(h)=h_1 df_a(e_1)+...+h_n df_a(e_n)=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+...+h_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\cdot h_j }[/math]
דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית
[math]\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases} }[/math]
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0 }[/math]
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y
מהגדרה של דיפרנציאל מסדר r לנוסחה עם נגזרות חלקיות
הגדרה
תהי [math]\displaystyle{ f \in C^r(U) }[/math] כך ש- U קבוצה פתוחה ומוכלת ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ h \in \mathbb{R}^n }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ \varphi(t)=f(a+th) }[/math], אז מתקיים ש- [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] גזירה r פעמים ב-0.
לכן ניתן להגדיר: [math]\displaystyle{ d^rf_a(h):=\varphi^{(r)}(0) }[/math]
משפט
[math]\displaystyle{ d^rf_a(h)=\sum_{|\alpha| =r} \frac{r!}{\alpha!}D^{\alpha}f(a)\cdot h^\alpha }[/math]
(הרצאה 12)
כך ש-
[math]\displaystyle{ \alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n) }[/math] מולטי אינדקס
[math]\displaystyle{ |\alpha|=\sum_{i=1}^n |\alpha_i| }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha! = \alpha_1!\cdot ... \cdot \alpha_n! }[/math]
[math]\displaystyle{ h^\alpha = h_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot h_n^{\alpha_n} }[/math]
[math]\displaystyle{ D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|} f} {\partial x_1^{\alpha_1} ... \partial x_n^{\alpha_n} } }[/math]
תנאי מספיק לדיפרנציאביליות לפי רציפות נגזרות חלקיות
המשפט
תהי [math]\displaystyle{ f:\Omega \to \mathbb{R}^m }[/math] ותהי נקודה [math]\displaystyle{ a\in \operatorname{int} \Omega }[/math]
נניח ש-
1. עבור דלתא מספר קטן קיימות [math]\displaystyle{ \forall_{1\leq i \leq n}\forall x \in B(a,\delta):\frac{\partial f}{\partial x_i} (x) }[/math]
2. כל הנגזרות החלקיות רציפות בכדור הזה.
אזי f דיפ' ב-a. (הרצאה 9)
תנאי מספיק לקיצון מקומי עפ"י הדיפרנציאל השני
המשפט
תהי [math]\displaystyle{ f:U\to \mathbb{R} }[/math] כך ש-U קבוצה פתוחה שמוכלת ב- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ f\in C^2(U) }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a \in U }[/math] נק' קריטית של f (כלומר [math]\displaystyle{ \nabla f(a)=0 }[/math]) אזי:
1. אם [math]\displaystyle{ d^2f_a\gt 0 }[/math] אז a מינימום מקומית ממש
2. אם [math]\displaystyle{ d^2f_a\lt 0 }[/math] אז a מקסימום מקומית ממש
3. אם [math]\displaystyle{ d^2f_a }[/math] לא שומרת סימן אז a לא קיצון.
(הרצאה 15)
משפט פונקציה סתומה - משוואה אחת
משפט
תהי [math]\displaystyle{ W \subseteq \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} }[/math] קבוצה פתוחה ותהי [math]\displaystyle{ F:W\to \mathbb R }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F \in C^r (W) }[/math]
נתונה הנקודה [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כך ש-
1. [math]\displaystyle{ F(a,b)=0 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y} (a,b)\neq 0 }[/math] (כאשר y זה המשתנה ה- n+1)
אזי קיימות סביבות [math]\displaystyle{ a \in U , b \in V }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall_{x \in U} \exists!_{y \in V} : F(x,y)=0 }[/math].
כלומר קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ \varphi:U\to V }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F(x,\varphi(x))=0 }[/math]. בנוסף [math]\displaystyle{ \varphi \in C^r(U) }[/math]